Cálculo diferencial. LIMITE DE UNA SUCESION

3 LÍMITES.

3.1 LIMITE DE UNA SUCESION.

Decir que una colección de objetos está en sucesión significa que la colección esta ordenada de manera que tiene un primer término, un segundo término, un tercer término y así sucesivamente. Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos (naturales). Ejemplos:

El enésimo término es la fórmula con la cual puedo generar cada uno de los términos de la sucesión, con solamente darle valores a la variable n. El primer término se obtiene al substituir n por 1; el segundo se obtiene al sustituir n por 2, y así sucesivamente.

En las primeras cuatro sucesiones del ejemplo anterior los términos van siendo cada vez más grandes, y seguirán creciendo sin límite; sin embargo, en la quinta se ve que los términos se acercan a cierto número (cero) a medida que los calculamos, por esta razón se dice que la sucesión  sí tiene un límite y es cero, esto se expresa así:[pic 16]

.[pic 17]

Definición: Si es una sucesión tal que  para cada entero positivo , y  se hace arbitrariamente próximo a un único número  cuando  se hace cada vez más grande, entonces .[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Si el límite de una sucesión existe; entonces decimos que la sucesión converge. Si no existe, entonces la sucesión diverge.

Estudiar archivo “limite de sucesión.ggb”

Resolver 10 ejercicios del 1 al 10 y 15 a 52 de la sección A.1, página 289 del libro “Matemáticas 1” primera edición, de Dennis G. Zill.

Resolver 10 ejercicios del 1 al 46 y 69 a 82 de la sección 9.1, página 602 del libro “Cálculo 1” octava edición, de Larson, Hostetler y Edwards.

3.2 LÍMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL.

Si  se hace arbitrariamente próximo a un único número  cuando  se aproxima hacia  POR AMBOS LADOS, decimos que el límite de  cuando  tiende a  es .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

Ejemplo 1: Sea . Si intentamos evaluar la función en el valor  encontramos que no lo podemos hacer, ya que se nos genera una división por cero. Pero siguiendo la definición de límite arriba mencionada, podemos dar valores a x en una SECUENCIA tal que se aproxime a 1 por la izquierda y después por la derecha.[pic 34][pic 35]

                 x tiende a 1 →                                                ← x tiende a 1

                  se aproxima a 3 →                        ←  se aproxima a 3[pic 37][pic 38]

Es claro que podemos seguir dando valores a la variable x tan cercanos a 1 como queramos, simplemente agregando decimales, sin embargo parece que es suficiente con los que hemos hecho los cálculos.

Debido a que  se aproxima a 3 cuando  tiende a 1 por la izquierda () y  se aproxima a 3 cuando  tiende a 1 por la derecha (), decimos que el límite de  cuando  tiende a 1 sí existe y es igual a 3.[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

Es interesante notar que, en este ejemplo,  es una parábola que tiene un agujero PRECISAMENTE EN , es decir,  es discontinua en , sin embargo el límite sí existe. Se sugiere elaborar la gráfica, ya sea a mano o con algún software de graficación.[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Ejemplo 2: Sea . Queremos saber qué pasa con  en .[pic 52][pic 53][pic 54]

                x tiende a 0 →                                        ← x tiende a 0

                  se aproxima a -1 →                        ←  se aproxima a 1[pic 56][pic 57]

Ya que  tiende a valores DIFERENTES cuando x se aproxima a cero por la izquierda y por la derecha, decimos que el límite no existe (ver figura 3.1).[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Figura 3.1 grafico de .[pic 61]

Estudiar archivo “limite de f de x.ggb”

Resolver 10 ejercicios 1 a 50 de la sección 3.1, página 93 del libro “Matemáticas 1” primera edición, de Dennis G. Zill.

Resolver 10 problemas 1 a 24, sección 1.2, pág. 54 del libro “Cálculo 1” octava edición, de Larson, Hostetler y Edwards.

Resolver 10 problemas 1 a 24, sección 3.1 pág. 48 del libro “Cálculo diferencial (matematicas 1)” de Larson, Hostetler y Edwards.

3.3 CÁLCULO DE LÍMITES.

Límites básicos: Si b y c son números reales y  un número entero positivo.[pic 62]

En corto, para calcular límites de funciones, basta con sustituir x (la variable) por c (el valor al que tiende la variable), es decir: . Es obligatorio mencionar que cuando esto no es posible (nos encontramos con una operación prohibida), deben utilizarse técnicas especiales de cálculo que veremos enseguida.[pic 69]

Ejemplo 1. Calcular .[pic 70]

Solución: .[pic 71]

Ejemplo 2: Calcular el mismo ejemplo 1, pero cuando x tiende a 4: .[pic 72]

Solución: .[pic 73]

Es claro que esta división es imposible de calcular (la división por cero es una operación prohibida), por lo tanto debemos usar otra técnica.

Al hacer la sustitución de la variable x por el valor c, puede resultar uno de estos cuatro casos (donde n y m son diferentes de cero):

1. , entonces el límite es el resultado de dividir n entre m.[pic 74]
2. , entonces el límite es cero.[pic 75]
3. , entonces el límite no existe y se escribe así: .[pic 76][pic 77]
4. , entonces debemos usar la factorización o la racionalización.[pic 78]

Límites por factorización.

El ejemplo 2 es un caso típico del uso de la técnica de factorización:

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