CALCULO I

Susana Rubín Rivero/ Derivada parte uno 1

Derivada

Supón una curva y = f (x), localiza dos puntos sobre ella, uno P de coordenadas P(a, f (a)) y otro punto

Q(x, f (x)), si se traza una recta de P a Q obtenemos una secante, con pendiente

secante

f (x) f (a)

m

x a

−

=

−

Si se acerca el punto Q al punto P haciendo que x se acerque al valor de x = a y se toma el límite de este

cociente, se tiene entonces la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(a, f(a)).

tangente

lim f (x) f (a)

m

x a x a

−

=

® −

Por otro lado, haciendo que el incremento entre P y Q se llame h, es decir h = x − a, las coordenadas de Q

son entonces Q (a+h, f(a+h)); cuando x®a , entonces h®0 y el límite anterior queda

tangente

lim ( ) ( )

0

f a h f a

m

h h

+ −

=

®

Definición. La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P(a, f (a)) es la recta que pasa por P con

pendiente mtangente. Conocida también como la derivada de una función f en un número a, f’(a):

tangente

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

'( )

0

f x f a f a h f a

m f a

x a x a h h

− + −

= = =

® − ®

siempre que el límite exista.

Ejemplo

Encuentra una ecuación de la recta tangente a y= 1/x en el punto (2, ½):

1 1 2 (2 )

lim (2 ) (2) lim 2 2 lim 2(2 ) '(2)

0 0 0

h

f h f h h m f

h h h h h h

− +

−

+ − + + = = = =

® ® ®

lim 2 2 lim 1 1 1

0 2(2 ) 0 2(2 ) 2(2 0) 4

h

h h h h h

− − − −

= = = = −

® + ® + +

Con esa pendiente y el punto (2, ½) usando la ecuación punto pendiente de la recta se tiene:

1 1

2

4 2

y x



− = −  − 

 

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1

2

4 8

x

y = − + +

17

4 8

x

y = − +

La Derivada como Razón de Cambio

Siempre que exista una cantidad y que depende de otra cantidad x, cada vez que la x cambie, la y cambiará.

Al cociente de éstas diferencias se le llama razón de cambio promedio:

Razón de Cambio Promedio de y con respecto a x 2 1

2 1

y f (x ) f (x )

x x x

D −

=

D −

Al hacer que Dx®0 , entonces se tiene la razón de cambio instantánea:

Razón de Cambio Instantánea de y con respecto a x 2 1

2 1

lim lim ( ) ( )

0 0

y f x f x

x x x x x

D −

=

D ® D D ® −

La Derivada como Función

Si en la ecuación de f ’(a) se hace que el número a varíe, sustituimos a por x y tenemos entonces

lim ( ) ( )

'( )

0

f x h f x

f x

h h

+ −

=

®

Siempre que se tenga cualquier número x para el que exista éste límite, a f ´ (x) se le llama la derivada de f.

Se obtendrá f´(x) que es una nueva función.

Se puede interpretar f´ (x) geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el

punto (x, f(x)).

Existen varias notaciones usuales para la derivada si y = f(x), entonces

'( ) ' ( ) ( ) x

dy df d

f x y f x D f x

dx dx dx

= = = = =

Definición: Se dice que una función f es derivable en un punto x = a siempre que exista f ´(a).

Definición Se dice que la función f es derivable en un intervalo abierto I si existe f ´(a) "xÎI ( para toda x

en el intervalo), es decir si es derivable para todo número del intervalo.

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Tres Maneras en que una función no es derivable en un punto:

1. En donde las funciones tienen “picos” Por ejemplo el pico del valor absoluto, o de algunas funciones

con exponentes racionales.

2. En donde se presentan rectas tangentes verticales (como en algunos cambios de concavidad)

3. En discontinuidades.

Ejemplo: Derive la función valor absoluto

si 0

( )

si 0

x x

f x x

x x

− <

= = 

³

Para x < 0 se tiene

lim lim ( ) lim

( ) 1 1

0 0 0

x h x x h x

f x

h h h h h

+ − − − − −

¢ = = = − = −

® ® ®

Para x > 0 se tiene

lim lim lim

( ) 1 1

0 0 0

x h x x h x

f x

h h h h h

+ − + −

¢ = = = =

® ® ®

Como justo en x = 0 cambia la regla de correspondencia, el límite debe calcularse por la izquierda y por la

derecha.

lim 0 0

(0)

0

h

f

h h

+ −

¢ =

®

Límite por la derecha:

lim 0 0 lim lim lim

1 1

0 0 0 0

h h h

h h h h h h h

+ + + +

+ −

= = = =

® ® ® ®

Límite por la izquierda:

lim 0 0 lim lim lim

1 1

0 0 0 0

h h h

h h h h h h h

− − − −

+ −

= = − = − = −

® ® ® ®

Como en x = 0 los límites laterales son distintos, no existe el límite en x = 0, no existe

lim 0 0

(0), porque no existe

0

h

f

h h

+ −

¢

®

que es donde la gráfica de la función valor absoluto tiene un

“pico”.

Derivadas Sucesivas:

Una vez que se obtiene f ´(x), se trata de una nueva función, que se puede derivar nuevamente y así se puede

obtener una nueva función que se llama la segunda derivada de f es decir (f´ (x))´= f ´´(x) =

2

2

d dy d y

dx dx dx



  =

 

.

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Si seguimos derivando obtenemos

2 3

2 3

( )

d d y d y

y f x

dx dx dx



¢¢¢ = ¢¢¢ =   =

 

3 4

(4) (4)

3 4

( )

d d y d y

y f x

dx dx dx



= =   =

 

y de aquí en adelante ( ) ( ) ( )

n

n n

n

d y

y f x

dx

= =

Cuando se tiene la función posición de una partícula que se mueve en línea recta (o de cualquier otro objeto),

su primera derivada representa la velocidad del objeto como una función que depende del tiempo. A la

segunda derivada se le denomina la aceleración del objeto. A la tercera se le conoce como la derivada de la

función aceleración y se conoce como jerk.

Teorema : Si f es derivable en x = a, entonces es continua en a.

Pero no al revés, es decir, si es continua eso de ninguna manera garantiza que sea derivable, ya lo vimos con

el valor absoluto de x.

Ahora veamos qué forma tienen las derivadas de varias funciones simples:

Ejemplos:

1) Obtenga la derivada de una constante f (x) = c

...