Calculo infinitesimal

ADRIAN GUZMÁN RAFAEL [pic 1]

CALCULO II

BREVE HISTORIA

Newton y Leibniz son considerados los descubridores del cálculo, pero su labor es el resultado de una ardua tarea iniciada muchos siglos antes. Ellos tomaron procedimientos infinitesimales de Barrow y de Fermat, solo le dieron precisión y generalidad para ser un método novedoso. Sin la contribución de ellos y muchos más, el cálculo de Newton no se hubiera desarrollado.[pic 2]

El extraordinario avance registrado por las matemáticas, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al calculo infinitesimal.

BLOQUE No. 1 FUNCIONES[pic 3]

Función:

Se tiene una función cuando a un elemento de un primer conjunto se le asocia uno y solo un elemento de un segundo conjunto. 

Relación:

Se tiene una relación cuando a un elemento de un primer conjunto se le asocia uno o varios elementos de un segundo conjunto.

Al primer conjunto se le llama: Dominio, Variable Independiente, Abscisas, o Eje X

Al segundo conjunto se le llama: Rango, Codominio, Variable Dependiente, Ordenada o Eje Y

[pic 4]

[pic 5]

NOTACIÓN DE FUNCIONES [pic 6]

ƒ (x) = 5x + 3

*f de x es igual a 5x más 3*

EVALUCACIÓN DE FUNCIONES

El proceso para obtener los puntos de una grafica de una función se llama evaluar una función, en general para evaluar una función, y= f(x), se sustituye cada valor de la variable independiente, sobre la regla definida de la función. Se puede evaluar con numero reales o sobre una función algebraica.

Para evaluar una función se sustituye el valor de “x” en la misma función o ecuación, evitando las indeterminaciones matemáticas como lo son:

•  = Raíz par de un numero negativo[pic 7]

•  = La división de un número real entre cero[pic 8]

•  = El cociente entre ceros[pic 9]

Por ejemplo:

 = No existe = ∄[pic 10]

 = No existe = ∄[pic 11]

 = No existe = ∄[pic 12]

Ejemplo:

Considere la función:

ƒ(x) = x3 – 2x + 6. Evalúe en:

1. f(-5)

1. f(5)

1. f(1)

1. f(2)

Considere la función:

ƒ(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20. Evalúe en:

1. f(1)

1. f(5)

Considere la función:

ƒ(x) = Sen 2x Encontrar:

1. f(π)

1. f()[pic 13]

1. f()[pic 14]

1. f()[pic 15]

Considere la función:

ƒ(x) = Tan  x Encontrar:                                   NOTA: π = 180°[pic 16]

1. f(π)

1. f()[pic 17]

1. f()[pic 18]

1. f()[pic 19]

Considere la función:

ƒ(x) = x2 – 2x + 6. Evalúe en:

1. f()[pic 20]

1. f(x-2)

1. f(x-h)

1. f()[pic 21]

BLOQUE No. 2 LIMITES[pic 22]

DEFINICIÓN:

El limite de la función f (x), cuando x tiende o se aproxima cada vez más a una constante a, es L, si se pueden acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, tanto como se desee eligiendo una x lo más cerca de a, pero no igual a a. Esto se escribe:

lim f (x) = L

x → a

TEOREMA DE LIMITES

TEOREMA No. I.

El limite de una constante, cuando x tiende o se acerca al valor de a, es la misma constante, es decir:

lim C = C

x → a

Ejemplo:

Evalúe el siguiente límite:

lim 7 =

x → 2

lim 7 = 7

x → 2

TEOREMA No. II.

El limite de un polinomio, cuando x tiende o se acerca al valor de a, se obtiene por sustitución directa de los vaores de x = a. Es decir,

lim m x + b = m (a) + b

 x → a

Ejemplo: Evalúe el siguiente límite

lim 6x + 5 =

x → 2

Evalúe lim (x + 4)x =

x → 0

Evalúe lim  x + 5 = [pic 23]

x → 5

Evalúe lim 12x - 9 =

x → [pic 24]

Evalúe lim  x3 - 81 = [pic 25]

x → 7

Evalúe lim (x + 7) x =

x → 1

Evalúe lim  =[pic 26]

x → 2

Evalúe lim  =[pic 27]

x → 2- 

Evalúe lim  =[pic 28]

x → 0

TEOREMA No. III. (Formas indeterminadas)

En algunos casos al sustituir “x” por un numero determinado “a”, la función f(x) adopta una de las formas llamadas indeterminadas, estas formas son:

 o de .[pic 29][pic 30]

Expresiones que no representan ningún valor determinado para los números reales. En el caso de os limites si se presentan estas indeterminaciones, se procede a factorizar para evitar la indeterminación.

Los métodos de factorización más utilizados son:

1. Factor común
2. Diferencia de cuadrados
3. Trinomio cuadrado no perfecto
4. Binomio al cuadrado

FACTOR COMÚN

25 mx3 – 125 mx4 =

672 m2y – 784 my3 – 336 m3y3 =

FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN

1. 7 a2b + 21 a3b2 – 28 ab3 =

1. 225 mn + 275 mp + 375 mq =

1. 63 xy – 45 x2y + 81 x3 =

FACTORIZAR POR DIFERENCIA DE CUADRADOS (OPERACIÓN ORIGINAL EN NEGATIVA)

25 x6 – 121 x4y2 =

196 x8 -  [pic 31]

-x2 + 49 =

1. y4 – 196=

1.  – 49 =[pic 32]

1. 49 x2 -  =[pic 33]

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO

x2 – 12 x + 49 =

x2 –  x – 30 =

x2 + 9 x + 8 =

1. a2 – 7 a – 30 =

1. y2 – 3 y + 2 =

1. -x2 + 6 x – 8 =

1. x2 + 5 x + 6 =

1. x2 – 6 x + 9 =

BINOMIOS AL CUADRADO [ (a ± b)2 = a2 ± 2 ab + b2]

1. (3a + 7)2 =

1. (5x3 + 2x)2 =

1. ( x3 y – 2 xy3) =[pic 34]

1. (2x + 4)2 =

1. ( y3 + 4)2 =[pic 35]

Ejemplo

Evalúe lim  =[pic 36]

x → 5

Evalúe lim  =[pic 37]

x → 3

Evalúe lim  =[pic 38]

x → 1

Evalúe lim  =[pic 39]

...