Calculo Infinitesimal

¿Qué es una relación de proporcionalidad?''

Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina cociente de proporcionalidad

¿Qué significa que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo?.

Ejemplo: Sabiendo que los paquetes de caramelos cuestan lo mismo. 2 paquetes de caramelos cuestan $6 5 paquetes de caramelos cuestan $15 4 paquetes de caramelos cuestan $12

6 dividido 2 ,; 15 dividido 5 ,12 dividido 4, siempre es igual a 3 que, este ejemplo, es el costo de 1 paquete de caramelo.

¿Qué es la regla de tres?.

Problemas en los cuáles se conocen tres datos y se busca un cuarto.

Errores en la enseñanza

¿Es un método?.

Ejemplo 1 Si en 2 paquetes de caramelos hay 20 caramelos, ¿cuántos caramelos habrá en 4 paquetes.?

Es tentador decir que habrá 40 caramelos. Pero, ¿en algún momento se aclara que todos los paquetes tienen la misma cantidad de caramelos?.

Para reconocer las relación de proporcionalidad, muchas veces, se dice “a más, más”, “ a menos , menos” Luego es directa

“Regla” no verdadera, pues esto hará que todas las relaciones crecientes sean relaciones e proporcionalidad directa. Ejemplo 2 Si un niño a los 8 (ocho) meses tiene 4 dientes. ¿Cuántos dientes tendrá a los 10 años?. Según la regla anterior tendrá 60 dientes. ¿Es cierto?.Acaso a más meses de edad , ¿no tendrá más dientes?.

Conclusiones.

• Es importante analizar la condición del problema o se cuál es la constante.

• Habrá que hacer una lectura comprensiva y atenta del enunciado.

• Si la condición no esta dada, nada podremos decir de la relación.

Analizando la condición en varios ejemplos

1.Si en 2 paquete de figuritas hay 10 figuritas cuántas figuritas habrá en 7 paquetes, sabiendo que en todos los paquetes hay la misma cantidad?.

2.Si un planta crece en tres días 4 cm. ¿cuánto crecerá en 6 días?:

3.Un auto recorre 120 km y tarda 2 horas. ¿cuánto tardará en recorrer 270 km, si mantiene la misma velocidad?.

4.El lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿cuánto mide su perímetro?.¿Y si el lado mide 5 cm?. ¿Y si mide 7,5 cm?.

En el problema 2. podemos observar que no existe relación de proporcionalidad, ¿ es posible que las plantas crezcan lo mismo todos los días?.

En el problema 3, está aclarado que el auto mantiene la misma velocidad, de lo contrario no sería posible responder. En las situaciones cotidianas, no existe ninguna relación de proporcionalidad, ya que están sujetas a sucesos imprevistos. Nosotros le imponemos condiciones para que funcionen como relaciones de proporcionalidad.

El problema 4. Es un problema que indica una relación de proporcionalidad directa, pues el cuadrado siempre tendrá cuatro lados y su perímetro dependerá de él.

¿Cómo resolvemos problemas de “regla de tres”?.

El siguiente problema: Si dos paquetes de caramelos tienen 20 caramelos, cuántos caramelos habrá en 4 paquetes, sabiendo que todos los paquetes tiene la misma cantidad de caramelos.

2 p ............ 20 c

4 p.............. ?

Es común escuchar a los alumnos decir: “tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”. La famosa “regla de tres” .

Para poder entender esto veamos la propiedades de las magnitudes directamente proporcionales.

1era. Propiedad Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará multiplicado o dividido por ese mismo número.

En el ejemplo podemos observar que 4 paquetes es el doble de 2 paquetes., luego contendrá el doble de caramelos. Si quisiéramos saber cuantos caramelos habrá en 6 paquetes. 6 paquetes es el triple de 2 paquetes, luego contendrá el triple de caramelos.

Si la cantidad de paquetes fuera 7. Como en cada paquete. Hay 10 caramelos., en 7 paquetes habrá 70 caramelos.

Veamos otro problema:

Cantidad de pescado en kg. .....3/4 ..............1/4........... ½..........

Precio en $ ..........................2,70 ....... .............31,60

¿Cuál es la forma más sencilla de resolverlo?. Pensamos a ¾ como3 veces ¼, luego el precio será 3 x 2,70 = 8,10

½ puede ser pensado como el doble de ¼ , luego 2 x 2,70 = 5,40

Para calcular ¿cuántos kg de pescado se puede comprar con $21,60.- se puede pensar que 4 veces $2,70 equivale a $10,80 (costo de 1 kg) , luego 21,60 es el doble de 10,80. se pueden comprar 2 kg de pescado.

O también que 21,60 es 8 veces 2,70, luego 8 veces ¼ equivalen a 2 kg.

Conclusión:

• Existen distintas formas de resolver un problema.

• Cada problema permite poner en juego alguna estrategia diferente.

• Cada problema permite emplear alguna propiedad de las relaciones de proporcionalidad.

• Cada persona, que resuelve un problema, puede emplear la estrategia que le resulte más accesible y más comprensible.

¿Por qué limitar el trabajo a una sola forma?.

2da. Propiedad a la suma de los elementos de una de las variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados.

Para hacer un postre para 4 personas se necesitan 300 g de harina, 150 g de azúcar, 2 huevos y 200 g de manteca. ¿Qué cantidad de ingredientes se necesitan para preparar el postre para 6 personas, considerando que comerán aproximadamente la misma cantidad ?.

..................................4 personas

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