Los Principios Del Calculo Infinitesimal

RENÉ GUÉNON

Los principios

del

cálculo infinitesimal

(1946)

PREFACIO

Aunque el presente estudio pueda parecer, a primera vista al menos, no tener mas que un carácter un poco «especial», nos ha parecido útil emprenderle para precisar y explicar más completamente algunas nociones a las que nos ha sucedido hacer lla-mada en las diversas ocasiones en las que nos hemos servido del simbolismo mate-mático, y esta razón bastaría en suma para justificarle sin que haya lugar a insistir más en ello. No obstante, debemos decir que a eso se agregan también otras razones secundarias, que conciernen sobre todo a lo que se podría llamar el lado «histórico» de la cuestión; en efecto, éste no está enteramente desprovisto de interés desde nues-tro punto de vista, en el sentido de que todas las discusiones que se han suscitado sobre el tema de la naturaleza y del valor del cálculo infinitesimal ofrecen un ejemplo contundente de esa ausencia de principios que caracteriza a las ciencias profanas, es decir, las únicas ciencias que los modernos conocen y que incluso conciben como posibles. Ya hemos hecho observar frecuentemente que la mayoría de esas ciencias, en la medida incluso en que corresponden todavía a alguna realidad, no representan nada más que simples residuos desnaturalizados de algunas de las antiguas ciencias tradicionales: es la parte más inferior de éstas, la que, habiendo cesado de ser puesta en relación con los principios, y habiendo perdido por eso su verdadera significación original, ha acabado por tomar un desarrollo independiente y por ser considerada como un conocimiento que se basta a sí mismo, aunque, ciertamente, su valor propio como conocimiento, precisamente por eso mismo, se encuentra reducido a casi nada. Eso es evidente sobre todo cuando se trata de las ciencias físicas, pero, como lo he-mos explicado en otra parte, las matemáticas modernas mismas no constituyen nin-guna excepción bajo este aspecto, si se las compara a lo que eran para los antiguos la ciencia de los números y la geometría; y, cuando hablamos aquí de los antiguos, en eso es menester comprender incluso la antigüedad «clásica», como un mínimo estudio de las teorías pitagóricas y platónicas basta para mostrarlo, o lo debería al menos si no fuera menester contar con la extraordinaria incomprehensión de aquellos que pretenden interpretarlas hoy día. Si esa incomprehensión no fuera tan completa, ¿cómo se podría sostener, por ejemplo, la opinión de un origen «empírico» de las ciencias en cuestión, mientras que, en realidad, aparecen al contrario tanto más aleja-das de todo «empirismo» cuanto más atrás nos remontamos en el tiempo, así como ocurre igualmente con toda otra rama del conocimiento científico?

Los matemáticos, en la época moderna, y más particularmente todavía en la época contemporánea, parecen haber llegado a ignorar lo que es verdaderamente el número; y, en eso, no entendemos hablar sólo del número tomado en el sentido analógico y simbólico en que lo entendían los Pitagóricos y los Kabbalistas, lo que es muy evidente, sino incluso, lo que puede parecer más extraño y casi paradójico, del núme-ro en su acepción simple y propiamente cuantitativa. En efecto, los matemáticos mo-dernos reducen toda su ciencia al cálculo, según la concepción más estrecha que uno pueda hacerse de él, es decir, considerado como un simple conjunto de procedi-mientos más o menos artificiales, y que no valen en suma más que por las aplicaciones prácticas a las que da lugar; en el fondo, eso equivale a decir que reemplazan el número por la cifra y, por lo demás, esta confusión del número con la cifra está tan extendida en nuestros días que se la podría encontrar fácilmente a cada instante hasta en las expresiones del lenguaje corriente . Ahora bien, en todo rigor, la cifra no es nada más que la vestidura del número; ni siquiera decimos su cuerpo, ya que, en ciertos aspectos, es más bien la forma geométrica la que puede considerarse legíti-mamente como constituyendo el verdadero cuerpo del número, así como lo muestran las teorías de los antiguos sobre los polígonos y los poliedros, puestos en relación directa con el simbolismo de los números; y, por lo demás, esto concuerda con el hecho de que toda «incorporación» implica necesariamente una «espacialización». No obstante, no queremos decir que las cifras mismas sean signos enteramente arbitrarios, cuya forma no habría sido determinada más que por la fantasía de uno o de varios individuos; con los caracteres numéricos debe ocurrir lo mismo que con los caracteres alfabéticos, de los que, en algunos lenguas, no se distinguen , y se puede aplicar a los unos tanto como a los otros la noción de un origen jeroglífico, es decir, ideográfico o simbólico, que vale para todas las escrituras sin excepción, por disimulado que pueda estar este origen en algunos casos debido a deformaciones o alteraciones más o menos recientes.

Lo que hay de cierto, es que los matemáticos emplean en su notación símbolos cuyo sentido ya no conocen, y que son como vestigios de tradiciones olvidadas; y lo que es más grave, es que no solo no se preguntan cuál puede ser ese sentido, sino que ni siquiera parecen querer que tengan alguno. En efecto, tienden cada vez más a con-siderar toda notación como una simple «convención», por la que entienden algo que está planteado de una manera enteramente arbitraria, lo que, en el fondo, es una ver-dadera imposibilidad, ya que jamás se hace una convención cualquiera sin tener al-guna razón para hacerla, y para hacer precisamente esa más bien que cualquier otra; es solo a aquellos que ignoran esa razón a quienes la convención puede parecerles arbitraria, de igual modo que no es sino a aquellos que ignoran las causas de un acontecimiento a quienes éste puede parecerles «fortuito»; en efecto, eso es lo que se produce aquí, y se puede ver en ello una de las consecuencias más extremas de la ausencia de todo principio, ausencia que llega hasta hacer perder a la ciencia, o su-puestamente tal, pues entonces ya no merece verdaderamente ese nombre bajo ningún aspecto, toda significación plausible. Por lo demás, debido al hecho mismo de la concepción actual de una ciencia exclusivamente cuantitativa, ese «convencionalis-mo» se extiende poco a poco desde las matemáticas a las ciencias físicas, en sus teo-rías más recientes, que así se alejan cada vez más de la realidad que pretenden expli-car; hemos insistido suficientemente sobre esto en otra obra como para dispensarnos de decir nada más a este respecto, tanto más cuanto que es solo de las matemáticas de lo que vamos a ocuparnos ahora más particularmente. Desde este punto de vista, solo agregaremos que, cuando se pierde tan completamente de vista el sentido de una no-tación, es muy fácil pasar del uso legítimo y válido de ésta a un uso ilegítimo, que ya no corresponde efectivamente a nada, y que a veces puede ser incluso completamente ilógico; esto puede parecer bastante extraordinario cuando se trata de una ciencia como las matemáticas, que debería tener con la lógica lazos particularmente estrechos, y, sin embargo, es muy cierto que se pueden señalar múltiples ilogismos en las nociones matemáticas tales como se consideran comúnmente en nuestra época.

Uno de los ejemplos más destacables de esas nociones ilógicas, y que tendremos que considerar aquí ante todo, aunque no será el único que encontraremos en el curso de nuestra exposición, es el del pretendido infinito matemático o cuantitativo, que es la fuente de casi todas las dificultades que se han suscitado contra el cálculo infinite-simal, o, quizás más exactamente, contra el método infinitesimal, ya que en eso hay algo que, piensen lo que piensen los «convencionalistas», rebasa el alcance de un simple «cálculo» en el sentido ordinario de esta palabra; sólo hay que hacer una ex-cepción con aquellas de las dificultades que provienen de una concepción errónea o insuficiente de la noción de «límite», indispensable para justificar el rigor de este método infinitesimal y para hacer de él otra cosa que un simple método de aproxima-ción. Por lo demás, como lo veremos, hay que hacer una distinción entre los casos en que el supuesto infinito no expresa más que una absurdidad pura y simple, es decir, una idea contradictoria en sí misma, como la del «número infinito», y aquellos en los que sólo se emplea de una manera abusiva en el sentido de indefinido; pero sería menester no creer por eso que la confusión misma del infinito y de lo indefinido se reduce a una simple cuestión de palabras, ya que recae verdaderamente sobre las ideas mismas. Lo que es singular, es que esta confusión, que hubiera bastado disipar para atajar tantas discusiones, haya sido cometida por Leibnitz mismo, a quien se considera generalmente como el inventor del cálculo infinitesimal, y a quien llama-ríamos más bien su «formulador», ya que este método corresponde a algunas realida-des, que, como tales, tienen una existencia independiente de aquel que las concibe y que las expresa más o menos perfectamente; las realidades del orden matemático, como todas las demás, sólo pueden ser descubiertas y no inventadas, mientras que, por el contrario, es de «invención» de lo que se trata cuando, así como ocurre muy frecuentemente en este dominio, uno se deja arrastrar, debido a un «juego» de nota-ción, a la fantasía pura; pero, ciertamente, sería muy difícil hacer comprender esta diferencia a matemáticos que se imaginan gustosamente que toda su ciencia no es ni debe ser nada más que una «construcción del espíritu humano», lo que, si fuera me-nester creerles, la reduciría

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