El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo"
Enviado por Paula Lozano • 3 de Marzo de 2019 • Trabajos • 6.128 Palabras (25 Páginas) • 147 Visitas
[pic 3]
[pic 4]
El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.
En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y derivación en términos modernos). Fermat y Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.
[pic 5]
Una serie es una suma de infinitos sumandos
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
[pic 6] | Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 |
|
|
[pic 7] | Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" |
EJEMPLOS:
4
- Σ3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
K = 1
5
- Σ3k= 3x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45
K = 1
5
- Σ(1+k) = (1+1) + (1+2) + (1+3) + (1+4) + (1+5)
k = 1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
= 20
[pic 8]
El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
x | f(x) |
1,9 | 3,61 |
1,99 | 3,9601 |
1,999 | 3,996001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
[pic 9]
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
Ejemplos:
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
No podemos calcular [pic 13]porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular[pic 14], aunque 3 no pertenezca al dominio, D= [pic 15]− {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.
Límites de funciones en el infinito
Para calcular el límite de una función cuando x [pic 16]∞ se sustituyen las x por ∞.
...