Compleja Unal

GENERALIDADES:

N´umeros Complejos
Los n´umeros naturales N y n´umeros enteros Z aparecieron de manera natural al resolver ecuaciones como
x - 5 = 3 x + 5 = 3 x + 5 = 5.
Pero, al atacar ecuaciones cuadr´aticas, los matem´aticos de la antig¨uedad se toparon con unos nuevos y extra˜nos
n´umeros. Las soluciones de una ecuaci´on tan sencilla como x2 + 4 = 0 eran x = ±√-4. ¿Qu´e sentido ten´ıa la
ra´ız de un n´umero negativo?
Todos recordamos desde el colegio la ecuaci´on ax2 + bx + c = 0 y su soluci´on general
x = -b ±
√b2 - 4ac
2a
.
Por ejemplo en la soluci´on de x2 + 2x + 3 tambi´en aparece estos n´umeros extra˜nos x = -1 ± √-8. Observe que
estos “nuevos” n´umeros extra˜nos √-a siempre tienen algo en com´un √-a = √a√-1 esto significa que,
N´umeros extra˜nos = genn√-1o = gen{i}
La necesidad de encontrar un universo C donde vivan todas las
soluciones de estas ecuaciones, nos lleva a incluir un nuevo integrante a la familia R. Este integrante es n´umero extra˜no i.
Este universo C que estamos construyendo ya contiene a la familia
real (R, +, ·), ahora debemos preservar la cerradura del producto
(·) con el nuevo integrante i, esto nos lleva a incluir inmediatamente en C la familia creada por i, esta familia es gen{i} y se
hacen llamar imaginarios puros.
Y si queremos preservar la cerradura de la suma (+), entonces cada “interacci´on” entre la familia real e imaginaria
debe pertenecer al universo C. Esta interacci´on tendr´ıa la forma a + bi, con a perteneciente a la familia real y bi
pertenecientes a la familia de imaginarios puros.
Ese universo (C, +, ·) que hemos construido y que contiene esos “n´umeros extra˜nos” es llamado: Conjunto de
n´umeros complejos y que se denota por C.
En 1806 el matem´atico suizo Jean Argand propuso la siguiente representaci´on que consiste en visualizar el
conjunto de n´umeros complejos que denotamos por C como un par ordenado en R2
z = a + bi 7→ (a, b),
donde a es la parte real de z la cual denotamos Re(z) y b es la parte imaginaria de z que denotamos por Im(z).
Definici´on 1. (N´umeros complejos)
Los n´umeros complejos se define como
C = na + bi : a, b ∈ Ro
Si z = a + bi y a = 0 entonces z = bi es un imaginario puro, (el cual identificamos (0, b)).
Si z = a + bi y b = 0 tenemos z = a es un n´umero real, (el cual identificamos (a, 0)). Por ende, R ⊆ C.
1
Variable Compleja.
H. Fabi´an Ram´ırez
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Geom´etricamente, los n´umeros complejos se pueden identificar con los puntos del plano haciendo corresponder
al complejo z = x + yi y el punto de coordenadas (x, y). De ah´ı que el conjunto C reciba el nombre de plano
complejo. En adelante, identificaremos
z = a + bi ≡ (a, b)
La igualdad en C se define mediante
a + bi = c + di ⇔ a = c b = d
En particular, a + bi = 0 si y solo si a = b = 0.
Si z = x + yi, se define Re(z) = x y Im(z) = y (partes real e imaginaria del complejo
Ejercicio 1. Halle r´apidamente
1. Re(iz)
2. Im(iz)
Teorema 2. En el conjunto de los n´umeros complejos C considere las siguientes operaciones

demuestre que (C, +, ·) tiene estructura de cuerpo
DEM: Sean z, zk ∈ C luego z = a + bi ≡ (a, b), y zk = ak + bki ≡ (ak, bk) veamos las siguientes propiedades
I) z1 + z2 = z2 + z1
II) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
III) z + 0 = z
IV) Existe -z ∈ C tal que z + (-z) = 0
V) z1z2 = z2z1
(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2 - b1b2, a1b2 + b1a2)
(a2, b2)(a1, b1) = (a2a1 - b2b1, a2b1 + b2a1)
VI) z1(z2z3) = (z1z2)z3
VII) z1 = z
(a, b) · (1, 0) = (a - b0, 0 + b) = (a, b) = z
VIII) Para z 6= 0 existe z-1 ∈ C tal que zz-1 = 1.
IX) la operaci´on (·) es distributiva respecto a la operaci´on (+),
z(z1 + z2) = zz1 + zz2 (z1 + z2)z = z1z + z2z
Definici´on 3. (Inverso)
Si z ∈ C con z = a + bi 6= 0 entonces z-1 = a2 +a b2 , -a2 +b b2

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