Condiciones de frontera no homogéneas

CONDUCCIÓN DEL CALOR CON CONDICIONES DE FRONTERA NO HOMOGÉNEAS

Si uno de los extremos de la barra se mantiene a una temperatura constante T1 y el otro a T2 , entonces las condiciones de frontera son:

[pic 1]                [pic 2]                    t > 0

Lo que hay que hacer es reducir el presente problema a otro que tenga condiciones en la frontera homogénea para resolverlo de la forma “estándar”. Para usar esta técnica nos basamos en el siguiente argumento físico: después de mucho tiempo, es decir, cuando [pic 3], se alcanza una distribución de temperatura de estado estable v(x), la cual es independiente del tiempo t y las condiciones iniciales. v(x) debe satisfacer la ecuación de conducción del calor    [pic 4]      0<x<L     t>0    por lo que  

                                 v``(x)=0     para  0<x<L                        (1)

Además v(x) debe satisfacer las condiciones de frontera :

v(0)=T1          v(L)=T2                                     (2)

las cuales se aplican aún cuando [pic 5]. Por lo que la solución de la ecuación (1) que satisface las ecuaciones de (2) es:

                                [pic 6]                        (3)

Ahora, volviendo al problema original de ecuaciones:

[pic 7]                                        (4)

[pic 8]                                        (5)

[pic 9]         y         [pic 10]                (6)

trataremos de expresar [pic 11] como la suma de la distribución de temperatura de estado estable v(x) y otra distribución transitoria  w(x,t) de la siguiente forma:

                                [pic 12]                        (7)

como v(x) esta dada por la ecuación (3), el problema se resolverá siempre que se pueda determinar w(x,t). El problema con valores en la frontera para  w(x,t)  se encuentra al sustituir la expresión (7) por  u(x,t)  en las ecuaciones  (4),(5) y (6).

De la ecuación (4) tenemos:

                                [pic 13]     

se deduce que:

                                [pic 14]                                        (8)

ya que [pic 15]   y  [pic 16] ;

además:

                                [pic 17]                (9)

[pic 18]        (9)

finalmente de las ecuaciones (7) y (8):

[pic 19]        (10)

donde v(x) esta dada por la ecuación (3). Así, la parte transitoria de la solución al problema original se encuentra resolviendo el problema que consiste en  las ecuaciones (8), (9) y (10). Este último problema es el que se resuelve de la forma “estándar” siempre que [pic 20] ahora se considere como la distribución inicial de temperatura.

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