Conicas cuadraticas

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica

De la Fuerza Armada

Núcleo - Portuguesa

Cónicas y cuadráticas

Profesor: Juan Figueroa

Ing. Ciclo Básico

II Semestre Sección “B”

Enero- 2012

Bachilleres:

Valladares Maryelin        C.I 21.255.155         Ing. Sistemas

Lara Andrade Roger       C.I 20.767.783         Ing. Sistemas

Aular Juan Carlos           C.I 21.117.041           Ing. Sistemas

Torrealba José                 C.I 23.779.598          Ing. Civil

Índice.

Portada.

Introducción. ……………………………………………………………….. pag.II

Cónicas…….…………………………………………………………………..pág.1

Ecuación general de una cónica…..……………….……………………….pág.1-3

Ecuación reducida de una cónica………….……………………………….pág.3-4

Clasificación proyectiva de las cónicas…………………………………….pág. 4

Cuadráticas…………………………………………………………………....pag.5-8

Diagonalizacion De Una Forma Cuadrática……………………………… Pag.9-11

Rango Y Asignatura De Una Forma Cuadrática……………………......Pag.11-13

Formas Cuadráticas Definidas…………………………………………...Pag.13-14

Aproximación por mínimo cuadrado….…………………………………. pag.15-16

Mínimos cuadrados con factorización QR….……………………………pag.16-20

Conclusión…………………………………………………………………….pág. 21

Introducción

Para iniciarnos en el mundo de los principios básicos algebraicos es necesario empezar conociendo desde la primicia de donde nace cada cosa y para que sirven, aunque se torne algo tan complejo se vuelve muy sencillo cuando se estudia con dedicación por ejemplo conocer una cónica y sus formas permite al estudiante ver como ejecutarla, e incluso cuando hablamos sobre el termino mínimos cuadrados es un problema que vemos muy frecuente y cuando se estudia a profundidad nos damos cuenta que mientras mas compleja sea su ejecución se debe buscar la forma máxima para reducirla, ya que, se presenta una ecuación general de la cual derivan las demás.

Y como dice el profesor, escritor de la filosofía y la enseñanza matemáticas  M. Kline: "En el lugar de las matemáticas hay muchas moradas, y de entre ellas, la más elegante es la Geometría Proyectiva", y esto lo confirma A. Cayley, uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras "La Geometría Proyectiva es toda la geometría".

Cónicas.

 Se define este término como: “curva que resulta de cortar la superficie de un cono circular por un plano (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola”

Es decir que lo que conoceremos como cónica es el corte que se le haga en un determinado plana a un cono, y cada forma que este obtenga va determinar qué tipo será. Por ejemplo si tenemos un cono y le hacemos un corte horizontal en la parte superior se llamara circunferencia, y si cortamos su parte superior de forma inclina dase llamara elipse, si lo hacemos de forma vertical por alguno de sus lados se llamara hipérbola, y si lo cortamos de forma transversal se llamara parábola, a esto llamaremos clasificación de las cónicas.

[pic 1]

Ecuación general de una cónica.

Para realizar la ecuación de una cónica, se definirá la misma de forma general, donde su principal característica es que todas tienen como propiedad común que son de ecuación de segundo grado en dos variables, siendo entonces la cónica el lugar geométrico de los puntos del plano que comprueba  una ecuación de segundo grado en dos variable:

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a01x + 2a02y + a00 = 0 que de forma matricial queda:

(1 x y)=0[pic 2]

Siendo ~A una matriz simétrica de orden 3, se tiene la ecuación matricial ~  X A X = 0 t .O bien llamando: A = b= (2 ) entonces Xt A X + B X + a00 = 0 donde X es la matriz columna de las coordenadas de un punto del plano afín. [pic 3][pic 4][pic 5]

                                                  Ejercicio#1

Determine la naturaleza de la cónica que representa la ecuación:

2 - 4xy -  – 4x + 10y – 13 = 0[pic 6][pic 7]

Solución considerado la forma cuadrática  q: →R definida por q ( x , y ) =2 – 4xy -  , siendo la matriz asociada a  q:[pic 8][pic 9][pic 10]

A=  esta matriz tiene los auto valores =3,  = -2[pic 11][pic 12][pic 13]

Un conjunto orto normal de autos vectores es:

( , ) y (  ,  )una matriz diagonalizante ortogonal es  la ecuación de la rotación  =    nos da : x = ( 2 +  ) , y =(  ( ­ +2 )[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Por consiguiente la ecuación transformada se convierte en:

3 - 2 -  ( 2 +  ) +  ( - + 2 ) -13 = 0[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

O  3 - 2 -  +    - 13 =0 [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Completando cuadrados en  e obtenemos  la ecuación: [pic 41][pic 42]

3  - 2 =12[pic 43][pic 44]

Que representa una hipérbola con centro en (  ,  ) en el sistema  , [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Ecuación reducida de una cónica.

La ecuación de una cónica Xt A X + B X + a00 = 0 se dirá que se reducida si:

1. La matriz A es diagonal.

2. Si 0 no es valor propio de A, entonces B =0.

3. Si 0 es valor propio de A, entonces de entre todos los elementos a0i hay a lo más uno no nulo.

Teorema

Cualquier ecuación de una cónica Xt A X + B X + a00 = 0 puede transformarse en una ecuación reducida mediante un cambio de sistema de referencia: X’’ = C + Pt X con det (P) = +1.

Para la hipérbola:
La ecuación reducida quedara de la siguiente forma:

[pic 50]

Para la elipse:

La ecuación reducida quedara de la siguiente forma:

Elipse real:

[pic 51]

Elipse imaginaria:

[pic 52]

De la parábola:

La ecuación reducida quedara de la siguiente forma:

[pic 53]

Si nos damos cuenta las ecuaciones de la parábola e hipérbola y elipse, se torna mucho más sencilla, esto se debe a las  condiciones en el que se encuentre  la cónica, dependiendo de sistema de referencia en que se encuentre. Es decir el objetivo de esto es lograr reducir la ecuación general de forma sencilla realizando un cambio del sistema de referencia

Clasificación proyectiva de las cónicas:

Se define la clasificación proyectiva de las cónicas de la siguiente manera:

“El rango de la matriz asociada A = (aij) a la ecuación de una cónica tXAX = 0 es un invariante proyectivo es por lo que el número de puntos singulares de una cónica no depende del sistema particular de coordenadas proyectivas que se tome.  De acuerdo con esto, vamos a clasificarlas cónicas con arreglo al número de puntos singulares y a su disposición. Recordemos que el sistema que da los puntos singulares es:”

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

“1. Si rango A = 3, el sistema no admite más que la solución (0; 0; 0), que No representa ningún punto. Una cónica no degenerada no tiene puntos Singulares.”

“2. Si rango A = 2, hay un solo punto cuyas coordenadas homogéneas satisfacen al sistema. Una recta que no pase por el punto singular tendrá Dos puntos comunes con la cónica o ninguno, pues si tuviera uno solo la Cónica degenerada en una recta doble con lo que el rango A = 1. Así La cónica y la recta tiene dos puntos comunes o ningunos; y la cónica se Descompone en las rectas definidas por dichos puntos y el punto singular o solo consta del punto singular.”

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