Conicas

Cónicas:

Elementos de las cónicas:

o Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

o Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

o Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

o Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

o Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

α < β <90º

La elipse es una curva cerrada.

Elementos de la elipse:

o Focos: Son los puntos fijos F y F'.

o Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

o Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

o Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

o Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

 Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

 Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Excentricidad de la elipse: La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Ejemplo: Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

o Semieje mayor: 2a=10  a=5

o Semidistancia focal:

o Semieje menor:

o Ecuación reducida:

o Excentricidad:

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo: Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos: Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

β = 90º

La circunferencia es un caso particular de elipse.

Elementos de la circunferencia

Centro: El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio: El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda:La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Eldiámetro mide el doble del radio.

Arco: Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia:Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro. La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

Ejemplos:

1ºCalcular la longitud

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