Conicas

Introducción

La presente exposición se refiere al tema de las cónicas que se pueden definir como:

Todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Sus principales características son que se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Las características.

La investigación de esta problemática se realizó para profundizar la indagación en el interés académico así mismo nos interesamos por aportar datos recientes sobre este tema.

Contenido

Muchos descubrimientos importantes, tanto en la Matemática pura como en la aplicada han tenido relación con las secciones cónicas. El estudio por Apolonio de las cónicas. En el siglo III a.n.e. fue uno de los trabajos más notable de la geometría griega. Unos 2000 años más tarde, Galileo descubrió que un proyectil lanzado horizontalmente desde lo alto de una torre, cae a la tierra describiendo una trayectoria parabólica (si se prescindiera de la resistencia del aire y se supone que el movimiento tiene lugar sobre una parte de la superficie terrestre que se supone plana).

Uno de los momentos cumbres de la historia de la astronomía tiene lugar alrededor del año 1600, cuando el astrónomo Kepler sugiere que todos los planetas se mueven en órbitas elípticas. Ochenta años más tarde, Newton demostraba que la órbitas planetarias elípticas implican la Ley de la gravitación Universal. En la que la fuerza de atracción es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre los cuerpos que se atraen. La teoría de la Gravitación Universal formulada por Newton se considera algunas veces, como el mayor descubrimiento científico que se ha realizado. Las secciones cónicas aparecen no solo en las órbitas de los planetas y satélites, sino también como trayectorias de partículas atómicas elementales. Estos ejemplos y muchos otros muestran la importancia de la teoría de las secciones cónicas que difícilmente es estimada en toda su importancia.

CÓNICAS

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

Secciones cónicas

Las cuatro curvas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Se llaman secciones cónicas porque se pueden formar mediante la intersección de un cono circular recto con un plano.

Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección resultante es un círculo. Si el plano está ligeramente inclinado, el resultado es una elipse. Si el plano es paralelo al costado (un elemento) del cono, se produce una parábola. Si el plano corta ambas extensiones del cono, produce una hipérbola.

Parábola

Definición

Una parábola es un conjunto P de todos los puntos en el plano R2 que equidistan de una recta fija, llamada directriz; y de un punto fijo, denominado foco que pertenece a la recta.

Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intersecta a la parábola se llama vértice.

Elementos de una parábola

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación:

Vértice (v): punto de la parábola que coincide con el eje focal.

Eje focal (ef): línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice.

Foco (f): punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d): línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.

Distancia focal (p): magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz.

Cuerda: segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

Cuerda focal: cuerda que pasa por el foco.

Lado recto (lr): cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Elipse

Definición:

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre dos puntos.

Elementos de la elipse:

1. Designamos por F y F' los focos de una elipse.

2. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta.

3. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V', llamados vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento VV', se llama eje mayor.

4. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro.

5. La recta l' que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el termino eje normal para designarla.

6. El eje normal l' corta a la elipse en dos puntos, A y A', y el segmento AA' se llama eje menor.

7. Un segmento tal como BB', que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular una cuerda que pasa por uno de los focos tal como EE', se llama cuerda focal.

8. Una cuerda focal, tal como LL ', perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C tal como DD', se llama un diámetro.

9. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F'P que une los focos con el punto P se llama radios vectores de P.

Hipérbola

Definición:

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Entonces se dice que la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la Hipérbola

Una hipérbola de focos F y F’, con asíntotas r y r’, con ejes de simetría AA’ y su perpendicular pasando por su centro O, determina los siguientes segmentos:

Semieje: a = OA = OA’

Semidistancia focal: c =OF = OF’

Ejercicios

Ecuaciones de 2°do Grado Identificación de tipos de cónicas

Fórmula Gral. I = Discriminante

Ax²+Bxy+Cy+Dx+Ey=0 I > O Hipérbola

I= B²- 4AC I =O Parábola

I <O Elipse

Identifica el tipo de crónica

a) Ax²+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0

6x²-8xy-6y²+12x+18y-45=0

A= 6

B= -8 B²-4AC

C= -6 (-8)² – 4 (6) (-6)

64+144=208 Hipérbola

b) 3y²-5x+6y=10

3y²-5x+6-10=0

A=0 B²-4AC

B=0 (0)² -4 (0) (3)

C=3 0+0=0 Parábola

C) 9y+7y²= -2x²+11x+17

2x²+7y-11+9y-17=0

A=2

B=0 B²-4AC

C=7 (2)²-4(0)(7)

0 – 56 = -56 Elipse

Referencias

http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-conicas/definicion-grandes-conicas.shtml#ecuacionea#ixzz3I90m7TlQ

http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-conicas/definicion-grandes-conicas.shtml#definicioa#ixzz3I8urPPx7

http://cursosgratis.aulafacil.com/matematicas-conicas/curso/Lecc-1.htm

https://www.youtube.com/watch?v=XbvTq0U97sU

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