Cónicas

Cónicas

INDICE

I. Aspectos Históricos 3

II. ¿Cómo se forman las Cónicas? 5

III. Circunferencia 7

- Ecuaciones de la circunferencia 8

- Determinación de una circunferencia sujeta a 3 condiciones dadas 10

- Aplicaciones 12

IV. Parábola 13

- Elementos de la parábola 14

- Ecuaciones de la parábola 15

- Construcción 18

- Aplicaciones 19

V. Elipse 21

- Elementos de la elipse 22

- Ecuación de la Elipse con centro en el origen 22

- Ecuación de la elipse con centro (h, k) 24

- Propiedades de la Elipse 25

- Construcción 26

VI. Hipérbola 27

- Primera ecuación ordinaria de la hipérbola 28

- Asíntotas de la hipérbola 30

- Segunda ecuación ordinaria de la hipérbola 31

- Construcción 33

VII. Bibliografía 34

ASPECTOS HISTÓRICOS

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos.

"...la peste se llevo una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema..."

"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos...”

Fue Hipócrates de Chíos quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a = x = y

x y 2a

Menecmo halló dichas curvas como secciones (las secciones en aquellos tiempos sólo se consideraban perpendiculares a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Perga quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva.

Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), Hyperbola (avanzar más allá) y Parábola (colocar al lado o comparar) que indicaba que no había deficiencia ni exceso.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos exclusivamente, y consigue una de las mejores obras de la matemática antigua.

Mientras que Apolonio había considerado tres tipos de curvas, Kepler prefería considerar cinco tipos. A partir de un par de rectas que se cortan, en la que los focos coinciden con el punto de intersección, podemos pasar gradualmente por un conjunto infinito de hipérbolas, según uno de los focos va alejándose más y más del otro. Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no tenemos ya una hipérbola con sus dos ramas sino una parábola. Según el foco móvil traspasa el punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado, vamos pasando por un conjunto de elipses, hasta que cuando los focos coinciden tenemos una circunferencia como último tipo de cónica.

En 1609 enuncia Kepler sus dos primeras leyes astronómicas, los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas uno de cuyos focos es el Sol y el radio vector que va del Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Descartes sólo en un caso examina con detalle un lugar geométrico, y es en conexión con el problema del lugar de las tres y cuatro rectas de Pappus del que obtiene Descartes la ecuación:

y2=Ay-Bxy+Cx-Dx2.

Ecuación general de una cónica que pasa por el origen de coordenadas. Descartes presenta condiciones sobre los coeficientes para que la cónica sea una recta, una parábola, una elipse o una hipérbola; sabía que eligiendo adecuadamente tanto el origen de coordenadas como los ejes, podía reducirse la ecuación a la forma más sencilla, pero el hecho es que no da ninguna de las formas canónicas.

Tras la Geometría de Descartes publicada en francés y no en latín (la lengua universal de la ciencia), Van Schooten la traduce al latín en 1649 y junto con sus discípulos adquiere la geometría

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