Cónicas

Instituto Politécnico Nacional

Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos

“Hidalgo”

Proyecto:

Cónicas.

Geometría Analítica.

3IM10

Profesor: José Estudillo

Alumno:

Miriam Garrido

26/01/2015

Contenido:

• Introducción

• Cónicas

 ¿Qué son?

 Historia de las cónicas

 Circunferencia

 Elipse

 Parábola

 Hipérbola

• Conclusiones

• Bibliografía

Introducción:

En este trabajo se presenta una investigación sobre el tema de Cónicas, abarcado en nuestro plan de estudios de la materia de Geometría Analítica, incluyendo conocimientos generales y específicos de cada uno de estos lugares geográficos (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola).

Comenzando con lo básico, se define desde el punto de vista de la Geometría, a lo que se refiere como cónicas, así como la historia de las mismas. Avanzando a lo particular, el documento se dividirá entre los temas de circunferencia, elipse, parábola e hipérbola, dando el concepto de cada una, sus características, propiedades, etapas de aplicación y finalmente los ejemplos, enfocados a la carrera de Comercio Internacional.

Concluyendo, se pretende demostrar cual es la importancia y aplicación de la cónicas en el ámbito económico, de cómo nos permiten descubrir, estudiar, predecir y construir diversas situaciones comerciales.

CÓNICAS

¿QUÉ SON LAS CÓNICAS?

Se conoce como sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en cuatro tipos: circunferencia, elipses, parábolas e hipérbolas.

Para entender esto, debemos conocer los elementos de las cónicas:

Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje (e), a la que corta de modo oblicuo.

Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. (g)

Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.(v)

Hojas: Son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

Sección: La curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Si uno corta de manera perpendicular al eje del cono, la intersección resultante es una circunferencia. Cuando el plano está ligeramente inclinado, el resultado es una elipse. Si el plano es paralelo al costado del cono, se produce una parábola. Si se cortan ambas extensiones del cono, produce una hipérbola.

O en lenguaje algebraico, en función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), se sabe que cuando:

β < α: Hipérbola (azul)

β = α: Parábola (verde)

β > α: Elipse (amarillo)

β = 90º: Circunferencia (un caso particular de

Elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (él vértice).

Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).

Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

En la geometría analítica, las cónicas se estudian por su fórmula general:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

HISTORIA DE LAS CÓNICAS.

Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus, que vivió alrededor del 350 A.C. fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base. Sin embargo, hubo otros estudiosos ya famosos que sustentaron su descubrimiento, como Euclides y Arquímides.

Apollonius de Perga (262-180 A.C.) conocido también como “El geómetra de la antigüedad” fue el principal matemático que estudió las cónicas. Poco se sabe de su vida en el periodo helenístico (fragmentación del imperio), pero trascendió gracias a su colección escrita de libros “las Cónicas” que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

La obra de Apollonius llega al occidente gracias y a través de la matemática árabe, donde los primeros libros conocidos nacen en 1629. En 1675 Barrow (profesor de Newton en Cambridge) publica en Londres un manual de Geometría donde condensa los 4 libros de Apollonius. En 1710, Edmon Halley publica en la edición Príncipe, en latín y griego de los 7 libros conocidos.

Más adelante, ocurre un avance importante en el estudio de las cónicas en el siglo XVll, por

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