Continuidad de una función en un intervalo abierto

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TAREA N° 2

Nombre: ________KEVIN VACA____________________ NRC: __________¬¬¬¬-__________

Fecha: ________06/05/2015_______________________ Aula: ____________________

TEMA: CONTINUIDAD EN UN PUNTO EN INTERVALOS CERRADOS Y ABIERTOS, INDETERMINADOS.

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua  x  (a, b).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x)  en el intervalo (–1, 1).

Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x  1 y x  1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x)  en el intervalo (–2, 2).

Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x  1 y x  1.

A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:

En x  1

h(1)  (indeterminado)

La función no está definida en este punto.

Como f(x) no está definida en x  1 pero existe el límite para x  1, la función presenta una discontinuidad evitable en x  1.

En x   1

h(1)  no existe

Como no existe el límite para x  1, la función presenta una discontinuidad infinita en x  1

Por lo tanto, la función es continua en (2, 1)  (1, 1)  (1, 2).

Continuidad de una función en un intervalo cerrado

La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.

Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si y es continua a la izquierda de a si .

Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí

a) f(x) es continua en (a, b)

b)  f(a) (continua a la derecha de a)

c) f(x)  f(b) (continua a la izquierda de b)

Ejemplo. Demuestre que la función f(x)  es continua en el intervalo [–3, 3].

La función f(x)  resulta de la composición de las funciones y  9 – x2 e . La primera es una función polinomial, definida para todo número real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales tales que 9 – x2  0, o sea, todos los números reales pertenecientes al intervalo cerrado [–3, 3].

La gráfica de la función f(x) es la siguiente:

En la gráfica puede observarse que la función f(x) es continua en cada número real perteneciente al intervalo abierto ( 3, 3).

Además: y

Esto implica que la función es continua a la derecha de –3 y es continua a la izquierda de 3. En consecuencia, f(x)  es continua en [–3, 3].

INDTERMINACIÓN. Una indeterminación se produce si al hacer un límite obtenemos una situación que sólo sabiendo el valor de los límites de las funciones que intervienen no podemos asignar un valor al resultado de la operación. Es necesario realizar una investigación

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