Continuidad de funciones
Enviado por RickSanchez2402 • 12 de Marzo de 2023 • Tareas • 2.663 Palabras (11 Páginas) • 39 Visitas
[pic 1][pic 2][pic 3]
[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
Continuidad de funciones
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.
Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.
Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.
Una función f(x) es continua en el punto si se cumplen las siguientes condiciones:
- Existe f(a).
- Existe [pic 10]
- = f(a)[pic 11]
La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función:
- Continuidad en un punto
- Continuidad lateral
- Continuidad en un intervalo
Ejemplo de una función continua [pic 12]
[pic 13]
Ejemplo de una función no continua [pic 14]
[pic 15]
Continuidad por la izquierda
Una función [pic 16] es continua por la izquierda en el punto [pic 17] si se cumplen las tres condiciones siguientes:
La función [pic 18] está definida en el punto [pic 19] , es decir, para el punto [pic 20] existe la imagen [pic 21]
El límite por la izquierda [pic 22] de [pic 23] cuando [pic 24] tiende al punto [pic 25] por la izquierda existe. Esto es,
[pic 26]
El límite [pic 27] de la función [pic 28] cuando [pic 29] tiende al punto [pic 30] por la izquierda sea igual al valor [pic 31] o sea,
[pic 32]
Continuidad por la derecha
Una función [pic 33] es continua por la derecha en el punto [pic 34] si se cumplen las tres condiciones siguientes:
La función [pic 35] está definida en el punto [pic 36] , es decir, para el punto [pic 37] existe la imagen [pic 38].
El límite por la izquierda [pic 39] de la función [pic 40] cuando [pic 41] tiende al punto [pic 42] por la derecha existe.
[pic 43]
El límite [pic 44] de [pic 45] cuando [pic 46] tiende al punto [pic 47] por la derecha sea igual al valor [pic 48] o sea,
[pic 49]
Discontinuidad evitable
Una discontinuidad es evitable en un punto [pic 50] si existe [pic 51] y este es finito.
Una discontinuidad es evitable en un punto [pic 52] si existe [pic 53] y este es finito. Caso 1: La función no está definida en x = a
Esto significa que no existe [pic 54]
Ejemplo:
[pic 55]
La función no está definida en [pic 56]
Calculamos el límite cuando [pic 57]
[pic 58]
La función presenta una discontinuidad evitable en [pic 59] porque tiene límite, pero no tiene imagen.
[pic 60]
Discontinuidad inevitable
Dada una función [pic 61] decimos que tiene una discontinuidad inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en un punto [pic 62] pero estos límites son distintos, es decir,
[pic 63]
Salto
Definimos el salto de una función [pic 64] en un punto [pic 65] como la diferencia en valor absoluto de los límites laterales, esto es,
[pic 66]
Notemos que este valor puede ser finito o infinito. Así según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:
Discontinuidad inevitable de salto finito
Se refiera a que la diferencia entre los límites laterales es un número real.
[pic 67]
Ejemplo
Consideremos la siguiente función en el punto [pic 68],
[pic 69]
Notemos que el valor de [pic 70] en [pic 71], es [pic 72]. Podemos calcular los limites laterales, solo observando que valor toma la función en cada parte su dominio
[pic 73]
[pic 74]
Dados estos valores podemos calcular el salto de la función en [pic 75],
Salto = [pic 76]
De esta forma concluimos que: en [pic 77] hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.
[pic 78]
Instrucciones
Defina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado, si no lo son determine si la discontinuidad es evitable, de salto o infinita.
- 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟏; 𝒙 = 𝟐
Una función f(x) es continua en x=a si [pic 79]
[pic 80]
[pic 81]
, por lo tanto [pic 82]
Continuidad en x=2
- 𝒈(𝒙) = √ (𝒙 − 𝟏) 2 + 𝟓; 𝒙 = 1
Una función g(x) es continua en x=a si [pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
, por lo tanto [pic 86]
Continuidad en x=1
- 𝒇(𝒙) = √𝒙2 + 𝟗; 𝒙 = 3
Una función f(x) es continua en x=a si [pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
, por lo tanto [pic 90]
Continuidad en x=3
- 𝒇(𝒙) = |𝟒 – 𝒙2 |; 𝒙 = 2
Una función f(x) es continua en x=a si [pic 91]
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