L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Enviado por Ruben95 • 8 de Julio de 2013 • Tareas • 3.151 Palabras (13 Páginas) • 465 Visitas
Cap´ıtulo 9
L´IMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
9.1. Introducci´on
El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´on
en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el
punto x =2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos
valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),
f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las
im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.
Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos
como:
l´ım
x→2
f(x) = 3
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el
eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
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Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada una funci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca
a a es L, y se expresa como:
l´ım
x→a
f(x) = L
cuando:
Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| <
Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de
a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.
En la pr´actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como
recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f(x), y se expresa como:
l´ım
x→a+
f(x)
al l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´on f(x) se expresa como:
l´ım
x→a−
f(x)
y se define como el l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funci´on f(x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan
ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:
l´ım
x→a
f(x) = l ´ım
x→a+
f(x) = l ´ım
x→a− f(x)
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9.2. Tiposd e l´ımites
Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos:
1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x
se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´on se hace
cada vez mayor:
l´ım
x→a+
f(x) = +∞
(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).
De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la
izquierda).(Dibuja el que falta)
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Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on
entre ellos, por ejemplo:
En la figura anterior se cumple que:
l´ım
x→2+
f(x) = +∞
y
l´ım
x→2− f(x) = 2
2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞
cuando la funci´on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
l´ım
x→∞f(x) = b
Gr´aficamente:
En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
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3.
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