Continuidad y discontinuidad de funciones

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Continuidad y Discontinuidad de Funciones[pic 2]

Matemáticas I

Lunes y Miércoles

16:00 - 18:00

Maestro: Roberto Hernández Jáuregui

Juan Armando Reos Hernández

Licenciatura en Mercadotecnia

Tabla de contenido

¿Qué es continuidad y discontinuidad de funciones?        3

Definición: Continuidad en un punto        3

Definición: Continuidad sobre un intervalo        3

1 Definición        3

2 Definición        4

3 Definición        4

4 Teorema        4

5 Teorema        4

6 Teorema        4

7 Teorema        5

8 Teorema        5

9 Teorema del valor intermedio        5

Aplicación de la definición de continuidad        5

Continuidad de funciones polinomiales        5

¿Cuándo es discontinua una función?        5

Discontinuidades        6

Discontinuidades de una función racional        6

Localización de discontinuidades para funciones racionales        6

Localización de discontinuidades en funciones definidas por partes        6

Continuidad aplicada a desigualdades        7

Resolución de una desigualdad cuadrática        7

Resolución de una desigualdad con funciones racionales        8

Ejemplo práctico de aplicación (continuidad)        8

Propiedades de las funciones continuas        8

Aplicaciones económico-administrativas        9

Deuda Nacional        9

Bibliografía        10

¿Qué es continuidad y discontinuidad de funciones?

-La palabra continuo es común en el lenguaje ordinario. La usamos, en particular para caracterizar las variaciones que son graduales, no bruscas. Esta forma de uso ésta estrechamente relacionada con la idea de función continua. Hablando a groso -modo, una función es continua si variaciones pequeñas de la variable independiente dan lugar a variaciones pequeñas de los valores de la función. Geométricamente hablando, una función es continua si su grafica es conexa –esto es, si no tiene rupturas.

En otras palabras, una función es continua si se puede dibujar su grafica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, si la gráfica da un salto o más, decimos que  es discontinua. Así una función puede ser discontinua, por ejemplo, en  pero, continua en todos los demás puntos. (Hammond, 1996)[pic 3][pic 4]

¿Por qué ese interés en distinguir entre funciones continuas y discontinuas?

Una razón importante muy importante es que vamos a tener que trabajar muy a menudo con aproximaciones numéricas. Por ejemplo, si nos dan una función  y queremos calcular ), normalmente damos por descontado que basta calcular  para obtener una buena aproximación de . Con esta forma de proceder estamos suponiendo implícitamente que  es continua. En efecto, estamos diciendo que, puesto que 1,4142 esta próximo a , el valor  debe estar próximo a .      (Hammond, 1996)[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

-En un sentido informal, una función se describe como continua si puede graficarse sin levantar la pluma o el lápiz del papel (es decir, que no tiene brechas, ni saltos, ni interrupciones). La mayor parte de las funciones que se examinan en el cálculo son funciones continuas. Las funciones que presentan interrupciones reciben el nombre de discontinua. (Budnick, 2007)

Definición: Continuidad en un punto

Se dice que una función  es continua en  si [pic 13][pic 14]

1. La función esta definida en [pic 15]
2. [pic 16]

Definición: Continuidad sobre un intervalo

La función  es continua sobre un intervalo [ ] si lo es en todos los puntos del intervalo. (Budnick, 2007)[pic 17][pic 18]

1 Definición

Una función  es continua en numero  si[pic 19][pic 20]

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(Stewart, 2008)

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si  es continua en :[pic 22][pic 23]

1.  este definido (es decir,   esta en el dominio de ) (Stewart, 2008)[pic 24][pic 25][pic 26]
2.  existe (Stewart, 2008)[pic 27]
3. [pic 28]

La definición afirma que  es continua en  si  tiende a  cuando  tiende a . Así, una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en  solo produce una pequeña alteración en . De hecho, el cambio en  se puede mantener tan pequeño como desee, restringiendo el cambio en  lo necesario.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Si  esta definida cerca de  (en otras palabras, esta definida en un intervalo abiertoque contiene a , excepto tal vez en ),  es discontinua en  (o  tiene una discontinuidad en ) si  no es continua en .[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

2 Definición

Una función  es continua desde la derecha en un numero  si [pic 50][pic 51]

[pic 52]

Y  es continua desde la izquierda en  si[pic 53][pic 54]

[pic 55]

(Stewart, 2008)

3 Definición

Una función  es continua sobre un intervalo si es continua en todo numero en el intervalo. (Si se define únicamente en un lado de un punto extremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua desde la izquierda).[pic 56][pic 57]

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