Continuidad y discontinuidad de funciones
armando reosDocumentos de Investigación2 de Mayo de 2018
2.920 Palabras (12 Páginas)539 Visitas
[pic 1]
Continuidad y Discontinuidad de Funciones[pic 2]
Matemáticas I
Lunes y Miércoles
16:00 - 18:00
Maestro: Roberto Hernández Jáuregui
Juan Armando Reos Hernández
Licenciatura en Mercadotecnia
Tabla de contenido
¿Qué es continuidad y discontinuidad de funciones? 3
Definición: Continuidad en un punto 3
Definición: Continuidad sobre un intervalo 3
1 Definición 3
2 Definición 4
3 Definición 4
4 Teorema 4
5 Teorema 4
6 Teorema 4
7 Teorema 5
8 Teorema 5
9 Teorema del valor intermedio 5
Aplicación de la definición de continuidad 5
Continuidad de funciones polinomiales 5
¿Cuándo es discontinua una función? 5
Discontinuidades 6
Discontinuidades de una función racional 6
Localización de discontinuidades para funciones racionales 6
Localización de discontinuidades en funciones definidas por partes 6
Continuidad aplicada a desigualdades 7
Resolución de una desigualdad cuadrática 7
Resolución de una desigualdad con funciones racionales 8
Ejemplo práctico de aplicación (continuidad) 8
Propiedades de las funciones continuas 8
Aplicaciones económico-administrativas 9
Deuda Nacional 9
Bibliografía 10
¿Qué es continuidad y discontinuidad de funciones?
-La palabra continuo es común en el lenguaje ordinario. La usamos, en particular para caracterizar las variaciones que son graduales, no bruscas. Esta forma de uso ésta estrechamente relacionada con la idea de función continua. Hablando a groso -modo, una función es continua si variaciones pequeñas de la variable independiente dan lugar a variaciones pequeñas de los valores de la función. Geométricamente hablando, una función es continua si su grafica es conexa –esto es, si no tiene rupturas.
En otras palabras, una función es continua si se puede dibujar su grafica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, si la gráfica da un salto o más, decimos que es discontinua. Así una función puede ser discontinua, por ejemplo, en pero, continua en todos los demás puntos. (Hammond, 1996)[pic 3][pic 4]
¿Por qué ese interés en distinguir entre funciones continuas y discontinuas?
Una razón importante muy importante es que vamos a tener que trabajar muy a menudo con aproximaciones numéricas. Por ejemplo, si nos dan una función y queremos calcular ), normalmente damos por descontado que basta calcular para obtener una buena aproximación de . Con esta forma de proceder estamos suponiendo implícitamente que es continua. En efecto, estamos diciendo que, puesto que 1,4142 esta próximo a , el valor debe estar próximo a . (Hammond, 1996)[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]
-En un sentido informal, una función se describe como continua si puede graficarse sin levantar la pluma o el lápiz del papel (es decir, que no tiene brechas, ni saltos, ni interrupciones). La mayor parte de las funciones que se examinan en el cálculo son funciones continuas. Las funciones que presentan interrupciones reciben el nombre de discontinua. (Budnick, 2007)
Definición: Continuidad en un punto
Se dice que una función es continua en si [pic 13][pic 14]
- La función esta definida en [pic 15]
- [pic 16]
Definición: Continuidad sobre un intervalo
La función es continua sobre un intervalo [ ] si lo es en todos los puntos del intervalo. (Budnick, 2007)[pic 17][pic 18]
1 Definición
Una función es continua en numero si[pic 19][pic 20]
[pic 21]
(Stewart, 2008)
Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si es continua en :[pic 22][pic 23]
- este definido (es decir, esta en el dominio de ) (Stewart, 2008)[pic 24][pic 25][pic 26]
- existe (Stewart, 2008)[pic 27]
- [pic 28]
La definición afirma que es continua en si tiende a cuando tiende a . Así, una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en solo produce una pequeña alteración en . De hecho, el cambio en se puede mantener tan pequeño como desee, restringiendo el cambio en lo necesario.[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
Si esta definida cerca de (en otras palabras, esta definida en un intervalo abiertoque contiene a , excepto tal vez en ), es discontinua en (o tiene una discontinuidad en ) si no es continua en .[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
2 Definición
Una función es continua desde la derecha en un numero si [pic 50][pic 51]
[pic 52]
Y es continua desde la izquierda en si[pic 53][pic 54]
[pic 55]
(Stewart, 2008)
3 Definición
Una función es continua sobre un intervalo si es continua en todo numero en el intervalo. (Si se define únicamente en un lado de un punto extremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua desde la izquierda).[pic 56][pic 57]
4 Teorema
Si y son continuas en y es una constante, entonces las funciones también son continuas en :[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]
2. 3. 4. 5. si [pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]
5 Teorema
- Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo sobre
[pic 69]
- Cualquier función racional es continua, siempre que este definida; es decir, es continua en su dominio. (Stewart, 2008)
6 Teorema
Los tipos de funciones son continuos en todo número en sus dominios:
-polinomios -funciones racionales -funciones raíz -funciones trigonométricas -funciones trigonométricas inversas -funciones exponenciales -funciones logarítmicas. (Stewart, 2008)
7 Teorema
Si es continua en y entonces En otras palabras, (Stewart, 2008)[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]
8 Teorema
Si es continua en y es continua en , entonces la función compuesta dada por es continua en . (Stewart, 2008)[pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]
9 Teorema del valor intermedio
Suponga que es continua sobre el intervalo cerrado [] y sea cualquier numero entre y , donde . Por lo tanto, existe un numero en tal que . (Stewart, 2008)[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]
...