Continuidad

Objetivos

• Determinar la continuidad en un punto y en un intervalo abierto.

• Determinar límites laterales o unilaterales y continuidad en un intervalo cerrado.

• Usar propiedades de continuidad

Continuidad en un puto y en un intervalo abierto

En términos informales se dice que una función es continua en X=C significa que no hay interrupciones de la gráfica de f en C. Es decir, la gráfica no tiene saltos o huecos en C.

También, se puede decir que una función es continua en un intervalo abierto si su grafica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Existe tres condiciones para que las gráficas de f no es continua en X = C

Figura 1.25

En la figura 1.25, parece que la continuidad en X = C puede destruirse mediante cualquiera de las siguientes condiciones.

1. La función no está definida en X = C.

2. No existe el límite de f(x) en X = C.

3. El límite de f(x) en X=C existe, pero no es igual a f(c).

Si no se da ninguna de las tres condiciones, se dice que la función f es continua en C.

Continuidad en un punto: Una función es continua en C si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

1. f(c) está definida.

2. Lim f(c) existe

3. Lim f(c) = f(c)

Continuidad en un intervalo abierto:

una función es continua en una intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.

Discontinuidad en C:

cuando C no es continua, se dice que f tiene una discontinuidad en C. las discontinuidades se clasifican en dos categorías: evitables o removibles e inevitables o no removibles. Se dice que una discontinuidad en C es evitable o removible si f se puede hacer continúa definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(c). Por ejemplo, las funciones en la figuras 1.26ª y C presenta discontinuidades evitables o removibles en C, mientras que la de figura 1.26b presenta una discontinuidad inevitable o no removible en C.

Continuidad en un intervalo cerrado:

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

• f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)

• f es continua en a por la derecha:

• f es continua en b por la izquierda:

Ejemplos:

Estudiar la continuidad

de en el intervalo [0, 4]

f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinomica es continua en toda .

f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinomica es continua en toda .

Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

Teorema de propiedades de la continuidad:

Si b es un número real y f y g son continuas en X = C, entonces las siguientes funciones también son continuas en C.

1. Múltiplo escalar: bf .

2. suma y diferencia: f + o – g .

3. producto: fg .

4. cociente: f/g, si g(c) diferente de 0.

Ejemplo:

Por el teorema cada una de las siguientes funciones es continua en todos los puntos de su dominio.

Teoremas de continuidad de una función compuesta:

si g es continua en C y f es continua en g(c), entonces las función compuesta dada por (f *g)(x) = f ( g(x) ) es continua

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