Contrastes De Hipotesis

Tema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II

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TEMA 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales

5.1. Hipótesis estadísticas. Tipología

Sea un fenómeno aleatorio o “población” que se puede representar por la variable aleatoria

ξ con distribución de probabilidad descrita por la función (de cuantía o de densidad):

f (x;θ )

ξ ∼ f (x;θ )

Donde θ representa a un parámetro de valor desconocido o a un vector de parámetros

con valores desconocidos { ( )} 1 2 , ,..., k θ = θ θ θ .

Una hipótesis estadística es cualquier conjetura formulada sobre alguna de las características

de la distribución de probabilidad de la población o de las observaciones muestrales

que se pudieran hacer de la misma o de los modelos que se pudieran construir

con diferentes variables poblacionales.

Tipos de hipótesis:

- Hipótesis paramétrica: La que supone atribuir un valor o un rango de valores al

parámetro o parámetros desconocidos de la población.

Ejemplos: Población ξ∼B(1;π) Hip.: π = 0,47 ó Hip.: 0,23 < π < 0,26

Población ξ∼ N(μ ;σ2

) Hip.: μ = 2,57 ó Hip.: σ2

< 0,80

- Hipótesis no paramétrica: La que incluye características no paramétricas como

son: la forma de la distribución de probabilidad, la relación de independencia entre

variables o el modo de selección de los elementos muestrales.

Ejemplos:

Población ξ Hip.: ξ∼ Poisson

Poblaciones ξ1 y ξ2 Hip.: ξ1 y ξ2 son independientes en probabilidad

- Hipótesis simple: Aquella hipótesis que bajo su enunciado la distribución de probabilidad

de ξ y, por tanto la de la muestra, está completamente determinada y es

única.

Ejemplos:

Población ξ∼ Poisson(λ) Hip.: λ = 2,4 ⇒ ξ∼ Poisson(2,4) ⇒ xi∼ Poisson(2,4)

Población ξ∼ N(μ ;1,54) Hip.: μ = 2,5 ⇒ ξ∼ N(2,5;1,54) ⇒ xi∼ N(2,5;1,54)

Población ξ∼ N(16,5 ;σ2

) Hip.: σ2

= 4,2 ⇒ ξ∼ N(16,5;4,2) ⇒ xi∼ N(16,5;4,2)

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- Hipótesis compuesta: Aquella que bajo su enunciado la distribución de probabilidad

de ξ queda aún indeterminada dependiendo, generalmente, del valor de uno

o más parámetros.

Ejemplos:

Población ξ∼ Poisson(λ) Hip.: λ > 2,4 ⇒ la dist. de probabilidad de ξ no es única

Población ξ∼ N(μ ;σ2

) Hip.: μ = 2,5 ⇒ ξ∼ N(2,5;σ2

) depende del valor de σ2

- Hipótesis nula: Es la hipótesis que se enuncia para ser contrastada con los resultados

muestrales, de tal manera que va a ser rechazada o aceptada según se

encuentre evidencia suficiente en la muestra. Se tenderá a enunciarla con un contenido

lo más preciso posible. Se representa por 0 H .

- Hipótesis alternativa: Es la que se propone frente a la hipótesis nula, de tal forma

que si el contenido de ésta fuera falso, dentro de lo formulado en la hipótesis

alternativa deberá estar lo verdadero. Si la hipótesis nula fuera rechazada se deberá

aceptar lo expresado por la hipótesis alternativa, aunque esto suponga admitir

algo muy poco preciso. Habitualmente su contenido constituye todo lo contrario

que supone el contenido de la hipótesis nula Se representa por 1 H .

En el caso de que las hipótesis fueran acerca del parámetro θ cuyo valor desconocido

podría ser cualquier valor perteneciente al espacio paramétrico Θ, las hipótesis nula y

alternativa se plantearían, en general, de esta manera:

H0 :θ ∈Θ0

1 1 H :θ ∈Θ

En el espacio paramétrico Θ están incluidos todos los posibles valores que se pudieran

asignar al parámetro θ . Con 0 Θ representamos al valor o valores cuya aceptación o

rechazo se quiere decidir en el contraste. Con representamos al conjunto alternativo

de valores que deberemos asumir su aceptación si en el contraste concluimos que se

rechaza la hipótesis nula. Se cumple que

0 1 Θ ∪Θ = Θ y 0 1 Θ ∩Θ = ∅

Cuando se planteen estas hipótesis paramétricas nosotros lo haremos, casi siempre, de

la siguiente forma:

- La hipótesis nula estará definida lo más precisa posible. Habitualmente se hará

asignando un único valor para el parámetro desconocido, que si es el único desconocido

hará que la hipótesis sea simple, supuesto un modelo de probabilidad

para la población.

0 0 H :θ =θ

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- Mientras que para la hipótesis alternativa podremos considerar los dos casos siguientes:

- También definiéndola por medio de un único valor para el parámetro (Teorema

de Neyman-Pearson):

H1 :θ =θ1

- De la forma más general posible como en los denominados contrastes de

significación donde serán habituales las tres formas siguientes de definir a

la hipótesis alternativa:

A) 1 0 : A H θ ≠θ B) 1 0 : B H θ >θ C) 1 0 : C H θ <θ

5.2. Conceptos fundamentales. Consecuencias o errores. Región crítica. Nivel de

significación. Potencia del contraste. P-valor

Un contraste o test de hipótesis consiste en definir una hipótesis a probar (hipótesis nula

0 H ), si se contempla se puede definir la alternativa ( 1 H ) y a continuación recabar la

información muestral captada por medio de los resultados observados y decidir si existe

o no la suficiente discrepancia entre lo enunciado en la hipótesis nula y la muestra obtenida

para que nos lleve a rechazar o no lo definido en dicha hipótesis.

La aceptación o el rechazo de la hipótesis nula se deberán hacer siempre de acuerdo

con el resultado muestral que se haya observado. Si consideramos que la muestra X

puede tomar valores dentro de un espacio muestral n-dimensional

(n)

muestra ℜ , dividiremos

dicho espacio en dos conjuntos complementarios: C R (región crítica) y A R (región de

aceptación), de tal forma que si la muestra observada perteneciera a C R entonces la

hipótesis nula se rechazaría, mientras que si la muestra obtenida perteneciera a A R dicha

hipótesis se aceptaría. Esquemáticamente:

C X ∈ R ⇒ Se rechaza la 0 H A X ∈ R ⇒ Se acepta la 0 H

C A R ∩ R =∅ y

(n)

C A muestra R ∪ R = ℜ (espacio muestral)

Se puede decir que si la muestra cae en la región crítica ( C R ) significa que existe una

diferencia importante o significativa entre lo enunciado por la hipótesis nula ( 0 H ) y lo

que la muestra obtenida informa acerca del contenido objeto de dicha hipótesis.

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La determinación de la región crítica se hará, habitualmente, por medio de un estadístico,

elegido y elaborado apropiadamente en cada caso, con el que estableceremos claramente

el conjunto de sus posibles valores para los que se rechazaría la hipótesis nula

y que formarían, por tanto, dicha región crítica.

Las consecuencias que se pueden derivar de la decisión tomada acerca del rechazo o

aceptación de la hipótesis propuesta se pueden resumir en el siguiente cuadro:

HO CIERTA

HO FALSA

(H1 CIERTA)

SE RECHAZA HO

( X ∈RC )

ε1

Error de primera

especie

SE ACEPTA HO

( ) A X ∈R

ε2

Error de segunda

especie

Donde se aprecia que es posible cometer dos tipos de errores:

- Error de tipo “1” o de primera especie ( 1

ε

): cuando se rechaza la hipótesis y ésta

fuera cierta.

- Error de tipo “2” o de segunda especie ( 2 ε ): cuando se acepta la hipótesis y ésta

fuera falsa.

En principio, parece más grave cometer el primer tipo de error ( 1

ε

), ya que al rechazar

una hipótesis es difícil volver a plantearla para su contraste de nuevo y es posible que

nos mantengamos en el error de creer que no es válida durante mucho tiempo. Mientras

que si caemos en el error de segunda especie ( 2 ε ) y aceptamos una hipótesis que

resulta que es falsa, se podrá seguir replanteando su validez, con más facilidad, en las

siguientes etapas del proceso al ser uno de los supuestos con que se trabaje.

Las probabilidades y conceptos que se definen para caracterizar el proceso del contraste

de hipótesis son:

Probabilidad de cometer el error de primera especie:

[ ] 1 P ε = P [ Rechazar 0 H / 0 H es cierta ] = [ ] ( ) 0

0

0

para

/

si la es simple C P X R

H

α θ θ

θ

α

 ∈Θ

∈ ∈Θ =



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Por tanto, esta probabilidad de cometer el error 1

ε

tomará un único valor si la hipótesis

nula 0 H fuera simple, y será una función que dependerá de los valores del parámetro

en 0 H si ésta fuera una hipótesis

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