Definición de Determinantes
Enviado por RodUwU • 24 de Abril de 2021 • Apuntes • 1.521 Palabras (7 Páginas) • 54 Visitas
Unidad Educativa Privada Instituto Monte Sacro.
Contenido Tercer lapso 15to año Matemática.
Módulo XI Definición de Determinantes.
Un factor determinante es un número calculado a partir de las entradas de una matriz cuadrada. Tiene muchas propiedades e interpretaciones en álgebra lineal. Este concepto se centra en el procedimiento de cálculo de determinantes. Una vez que sepas cómo calcular el determinante de una matriz 2 2, entonces usted será CãP㎠de calcular el deterrninañte de una matriz 3 x 3. Una vez que sepas cómo calcular el determinante de una matriz 3 x3 se puede calcular el determinante de una 4 x 4 y así sucesivamente.
El determinante de una matriz A, se escribe como Para una 2 x 2 matriz A, el valor se calcula como:
[pic 1] = ad — bc
Observe cómo se multiplican las diagonales y luego se restan.
El determinante de una 3 x 3 matriz es más complicado.
B = d e f
Por lo general, se comenzará observando la fila superior, a pesar de cualquier fila 0 columna funcionarán. A continuación, se utiliza el patrón de tablero de ajedrez en busca de signos (que se muestra a continuación) y crear pequeñas matrices 2 x 2
[pic 2]
Las más pequeñas 2 x 2 son las entradas que quedan cuando se ignoran la fila y columna del coeficiente que está trabajando.
det B = IBI = [pic 3]
A continuación, tomar el determinante de las 2 x 2 matrices más pequeñas y se obtiene una larga serie de cálculos.
[pic 4]-ka(ei — fh) — b(di — fg) -4- c(dh — eg) [pic 5]aei — afh — bdi -k bfg + cdh — ceg [pic 6]aei bfg -4- cdh — ceg — Cfh — bdi
La mayoría de la gente no recuerda esta secuencia. Un matemático francés llamado
Sarrus demostró un gran dispositivo para memorizar el cálculo del determinante de 3 x 3 las matrices. El primer paso es simplemente para copiar las dos primeras columnas a la derecha de la matriz. Luego, dibuja tres líneas diagonales que van abajo y hacia la derecha.
[pic 7]
Observa que corresponde exactamente a los tres términos positivos del determinante demostrado anteriormente. Luego, tres diagonales que van hacia arriba y hacia la derecha. Estas diagonales corresponden exactamente a los tres términos negativos.
det B = aei bfg 4- cdh — ceg — af h — bdi
La regla de Sarrus no funciona para los determinantes de matrices que no son de orden
3 x 3.
EPmplo A
Encuentra det A Para[pic 8]
Solución.
3 2[pic 9]
[pic 10]3 -5 —2 - 1 — 15 2 — 13
1 5
Eþmplo B
Encuentra det B para[pic 11]
Solución:
3 2 1[pic 12][pic 13]
5 o 2
2 1 5
[pic 14]42 5 — —43
Eþmplo C
Encuentra el determinante de B del ejemplo B utilizando la regla de Sarrus.
Solución:
3 2 1 3 2
5 0 2 5 [pic 15]
2 1 5 2 1
det B -— [pic 16]O —6 — 50 = —43
Como se puede ver, la regla de Sarrus es eficiente y gran parte de los cálculos puede hacerse mentalmente. Además, los valores cero hacen que gran parte de la multiplicación más fácil.
Problema Concepto
Determinantes de matrices 2 x 2 se definen también según un sistema de 2 variables y ecuaciones 2. ax -4- by — [pic 17][pic 18]-4- dy = f
Para eliminar la x, la escala de la primera ecuación cy por la segunda ecuación por una.
aca: 4- bcy = ec aer + ady = af
Restar la segunda ecuación de la primera y resolver para Y.
ady — bcy = af [pic 19]y(ad — bc) = af — ec
af — ec y[pic 20]
ad — bc
Al resolver para también se consigue ad — bc en el denominador de la solución general. Este modelo llevó a la gente a empezar a utilizar esta estrategia en resolver sistemas de ecuaciones. El determinante se define de esta manera por lo que siempre será el denominador de la solución general de cualquiera de las variables.
Palabras Claves
El determinante de una matriz es un número calculado a partir de las entradas de una matriz. El procedimiento se deriva de la resolución de sistemas lineales.
La regla de Sarrus es una técnica de memorización que le permite calcular el determinante de 3 x 3 las matrices de manera eficiente.
Ejercicios Resueltos
- Encontrar el determinante de la matriz siguiente.
- 12
1 —3
- Encontrar el determinante de la matriz siguiente.
- 8 '3[pic 21][pic 22]
0 1 7
12 5 13
- Encontrar el determinante de la 4 x 4 matriz siguiente eligiendo cuidadosamente la fila 0 columna a trabajar.
[pic 23]
Respuestas:
—4[pic 24][pic 25]
det C — 12 — 12[pic 26]
1
4
det Do 1 7 - 4 - 13+8 -7- 12 +0 -36 - 5- 7-4 -0 - 548
12
2.
3. Observa que la tercera columna se compone de ceros y un uno. Elija esta columna para compensar los coeficientes, porque entonces, en lugar de tener que evaluar el determinante de cuatro matrices 3 x 3 individuales, sólo tiene que hacer uno.
[pic 27]
—4. (—3) • 9+5- 3. (—3) + 2 . (—1) • 2- 18 - 24 — (-45)
[pic 28]-154
Ejercicios
Encuentra los determinantes de cada una de las siguientes matrices.
[pic 29]
[pic 30]
14.[pic 31]
- ¿Puedes encontrar el determinante de cualquier matriz? Explique.
- La siguiente matriz tiene un determinante de cero: . Si el determinante de una matriz es cero, ¿qué dice eso de las filas de la matriz?
Módulo XII: Método de CRAMER.
El determinante se define de una manera aparentemente arbitraria, sin embargo, cuando se mira a la solución general de una matriz 2 x 2 , el razonamiento por la que se define de esta manera es evidente.
ax -4- by — [pic 32][pic 33] -4- dy = f
Al resolver el sistema anterior para Y , se X obtiene IO siguiente:
...