LA DERIVADA Definición

LA DERIVADA

Definición.

La derivada de una función f es la función denotada por  y prima ( y ´ ), o por  f  prima

 ( f ´)es  la derivada de y con respecto a x, la derivada de la función f con respecto a x. Notaciones.  La primera derivada de la función f con respecto a x se denota como:

  f ´ [pic 1] y  se define por  [pic 2]

y cuyo dominio consta de todos los valores de x en los que existe tal límite.

Razón media de cambio de “y” con respecto a “x”:

Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente “x” produce un cambio en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a [pic 3], entonces “y” cambia de [pic 4].Asi el cambio en “y” que podemos denotar como [pic 5]es [pic 6], cuando el cambio en x es [pic 7].

El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia de [pic 8] a [pic 9],es: [pic 10]

Así en general, tenemos:         Cambio en x: [pic 11]

Cambio en y: [pic 12]

[pic 13]

RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “y” CON RESPECTO A “x”:

Si existe el límite de [pic 14]  cuando [pic 15] se aproxima a cero, lo cual

denotamos como [pic 16]; este límite es lo que recibe el nombre de

razón instantánea de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”.

Definición.

Si y = f(x), la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” es la derivada de “y” con respecto a x , denotada f´(x), si ésta existe.

Definición.

Si y = f(x), la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x1 es la derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por [pic 17], si ésta existe en x = x1.

Se llama derivación al proceso de encontrar la derivada f ´ de una función f.

REGLAS DE DERIVACION

1. Regla de la constante: Si c es una constante y F(x)= c entonces

F’(x)= 0  ó  Dx[c]= 0

1. Regla de la potencia entera

Si n es un entero positivo y F(x)= x n,  entonces

F’(x)= n xn-1   ó   Dx [xn]= n xn-1

En palabras

a) La derivada de una constante es cero

b) La derivada de una potencia entera, es el producto del exponente por la base  

    con el exponente original disminuido en 1.

Supóngase que c es una constante y que f ´(x)  y  g’(x) existen.

      3.  Regla del múltiple constante

Si F(x)= c f(x), entonces F’(x)= c  f ´ ( x ) ó Dx [ c f(x)]= c Dxf(x)

       4. Regla de la suma

Si F(x)= f(x) + g(x), entonces

F’(x)= f ’(x) + g ’(x),    ó   Dx [f  ’(x) + g’(x)]=  Dx f(x)  +  Dx g(x)

5. Regla de la resta

Si F(x)= f(x) - g(x) entonces,

F(x)= f ’(x) – g’(x)    ó    Dx [f ’(x) - g’(x)]= Dx f(x) - Dx g(x)

6. Regla del producto

Si F(x)= f(x) • g(x) entonces,

F’(x)= f ’(x)•g(x) + f(x)•g’(x),   ó   Dx [f(x)•g(x)]= [Dx f(x)]•g(x) + f(x)•[Dx g(x)]

 7. Regla del cociente

Si [pic 18]entonces,

F(x)= f’’(x)•g(x) – f(x)•g ’(x)    ó   Dx[f(x)•g(x)]= [Dx f(x)]•g(x) -  f(x)•[Dx(g(x)]                      

                        g2(x)                                                              g2(x)

8.  Regla de la cadena

Si g’(x) y f’(g(x)) existen y F es la función compuesta definida por F(x)=f(g(x)), entonces  F’(x) existe y esta dada por

F’(x)= [f ’(g(x))] • g’(x)

En notación de Leibniz, si y = f(u) y u=g(x) son funciones derivables, entonces

dy = dy • du

dx     du   dx

En palabras

La derivada de una función compuesta es igual a la derivada de la fundón externa (evaluada en la función interna) multiplicada por la derivada de la función interna.

9. Regla general de las potencias

Sea n un entero positivo

Si   existe  y   y = [u(x)]n , entonces    y´  = n[u(x)]n-1   u’

10. Regla de la potencia entera

Si p es un número entero cualquiera y f(x)= x p entonces: f ’(x)= p x p - 1

             11. Regla de la potencia racional generalizada

Si f ’ (x) existe y [pic 19], entonces [pic 20])            

Ejercicios

Encuentre las derivadas de las siguientes funciones:

1. f(x)= 5 + 6x2 + 7x       R/   f ´(x) = 12 x + 7

1. [pic 21]              R/   [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

1. [pic 26]       R/    [pic 27]

1. [pic 28]    R/   [pic 29]

1. [pic 30]                R/  [pic 31]

1. [pic 32] 

R/ [pic 33]

1. [pic 34]   

R/ [pic 35]

8. [pic 36]   R/ [pic 37]

9. [pic 38]     R/ [pic 39]

10. [pic 40]  [pic 41]

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Sea   [pic 42], tenemos que:

1)  [pic 43]  entonces    y ´ = [pic 44]                               2)[pic 45]

3) [pic 46]    entonces   [pic 47]                        4) [pic 48]entonces [pic 49]

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