Derivadas. DEFINICIÓN INTUITIVA DE LA DERIVADA
Alberto OrtegaTarea25 de Mayo de 2019
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DERIVADAS.
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
La derivada las vamos a estudiar primero por su concepto intuitivo que definió Sr Isaac Newton y luego por los métodos de derivación de Gottfried Leibniz.
DEFINICIÓN INTUITIVA DE LA DERIVADA.
La definición intuitiva de la derivada, es un límite cuando el incremento de la función tiende a cero.
Si es la función, el incremento de la función es: [pic 1][pic 2]
Entonces, la definición de límite es la siguiente:
[pic 3]
Esta es la ecuación de la definición intuitiva de la derivada.
¿CÓMO ENCONTRAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POR MEDIO DEL CONCEPTO INTUITIVO DE LA DERIVADA?
Vamos a resolver unos casos en particular para que, cuando se encuentre con un ejercicio similar pueda saber cómo resolverlo.
Por ejemplo:
- [pic 4]
Por lo tanto, su incremento es sólo a la variable x. Entonces:
[pic 5]
[pic 6]
Ahora, reemplazamos en la fórmula de la definición intuitiva de la derivada.
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
La derivada de la función 3x+2 es igual a 3.
Vamos con otro ejemplo.
- [pic 13]
Ahora hallamos el incremento de la función [pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Ahora aplicamos la definición intuitiva de la derivada.
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
- [pic 25]
Incrementamos la función.
[pic 26]
Aplicamos la definición intuitiva de la derivada.
[pic 27]
[pic 28]
Como son raíces con radicando diferentes no se pueden sumar, por lo tanto, se debe racionalizar puesto que existe una indeterminación.
Al racionalizar se multiplica tanto al numerador como al denominador por la conjugada del factor, en este ejemplo del numerador, sabemos que la conjugada es cambiar al término el signo principal de la expresión, en este caso el signo principal de la expresión es negativo, la conjugada es la misma expresión pero con el signo principal positivo.
[pic 29]
Aplicamos en la parte del numerador una diferencia de cuadrados.
[pic 30]
Como ya tenemos los términos iguales, pero uno con signo positivo y otro negativo, su multiplicación da como resultado el primer término elevado al cuadrado y el segundo término elevado al cuadrado.
[pic 31]
En la parte del numerador aplicamos una propiedad de las potencias que es.
[pic 32]
Cuando se tenga una raíz enésima y este elevada al mismo índice de la raíz su resultado es el radicando. En este caso solo va quedar en el numerador los radicando.
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Cancelamos los deltas de x.
[pic 36]
Evaluamos la función, reemplazamos el delta de x.
[pic 37]
[pic 38]
Como las raíces tienen el mismo índice de la raíz, se pueden sumar, se suma los coeficientes de las raíces.
[pic 39]
Hasta ahí se puede dejar la derivada de la función por medio de la definición intuitiva de limite.
Otro ejemplo.
- [pic 40]
Le sumamos el incremento de la variable a la función.
[pic 41]
Acordarse de que sólo se le suma el incremento a la variable x, si la variable está elevada a una potencia, se le suma el incremento y luego, se eleva ambos términos a la potencia.
[pic 42]
[pic 43]
Se resuelve el binomio que está al cuadrado.
[pic 44]
[pic 45]
Aplicamos la suma de número fraccionarios en la parte del numerador.
[pic 46]
[pic 47]
Sumamos semejantes.
[pic 48]
[pic 49]
Aplicamos la ley de extremos y medios.
[pic 50]
Sacamos factor común en el numerador, para cancelarlo con el que está en el denominador.[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
Ahora evaluamos el límite, el resultado es la derivada de la función [pic 54]
Todo término que tenga se va evaluar por cero.[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
Aplicamos la siguiente propiedad de las potencias:
[pic 58]
Si se tiene un producto de bases iguales, se pone la misma base y se suman los exponentes. Aplicamos esta propiedad en el denominador.
[pic 59]
Esta es la derivada de la función.
Estos es la forma de realizar la derivada por medio del concepto intuitivo de algunos ejemplos como: funciones lineales, funciones no lineales, raíces y funciones racionales.
Ahora vamos a estudiar las reglas de la derivación.
REGLAS DE LA DERIVACIÓN.
Las reglas de la derivación son reglas muy sencillas inventadas por Gottfried Leibniz por medio de los estudios sobre el cálculo que hizo Sr Isaac Newton.
A continuación vamos a ver cuáles son las reglas de derivación.
- DERIVADA DE UNA CONSTANTE:
La derivada de una función constante es igual a cero.
Si, [pic 60]
[pic 61]
DEMOSTRACIÓN DE LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE.
Vamos a realizar la demostración por medio del concepto intuitivo de la derivada.
[pic 62]
Aplicamos el incremento de la función.
[pic 63]
La función es igual a su incremento puesto que, el incremento sólo se le realizará a la variable x y en este caso, como es una función constante, ella no tiene variable x.
Aplicamos la fórmula del concepto intuitivo de la derivada.
[pic 64]
Reemplazamos los datos.
[pic 65]
Simplificando la expresión, sumando semejantes.
[pic 66]
Evaluando el límite.
[pic 67]
[pic 68]
El resultado no es indeterminado sino cero porqué, como delta de x tiende a cero más no es cero no daría indeterminado, que daría cero dividido entre un número muy pequeño cercano a cero. Cero dividido entre cero no da como resultado cero.
[pic 69]
Por lo tanto, la derivada de una función constante queda demostrada que da como resultado cero.
- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON LA VARIABLE X.
La derivada de una función x es igual a 1.
Si, [pic 70]
[pic 71]
DEMOSTRACIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON VARIABLE X.
[pic 72]
Aplicamos el incremento de la función.
[pic 73]
Aplicamos la fórmula de la definición intuitiva de la derivada.
[pic 74]
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
Al cancelar los deltas de x, da como resultado 1. Evaluamos el límite.
[pic 78]
El límite de una constante es igual a la constante.
Quedó demostrado que la deriva de la función x es igual a 1
- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA CONSTANTE POR UNA VARIABLE.
La derivada de una función constante por una variable es igual a la constante.
Si, [pic 79]
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