Determínese la ganancia máxima del sistema para una operación estable

EJERCICIOS DE TEORIA DE CONTROL

Rafael Olivo Díaz.

Teoría de control, Universidad de la Costa

Barranquilla, Colombia

E6.8. Los ingenieros de diseño trabajan en el desarrollo de aviones de combates pequeños, rápidos y de despegue vertical, que sean invisibles para los radares (aviones clandestinos). En la Figura E6.8 se muestra el concepto de avión que emplea toberas de chorro de giro rápido para la dirección de la nave [22]. El sistema de control de la dirección se muestra en la Figura E6.8. Determínese la ganancia máxima del sistema para una operación estable.

Figura E6.8. Control de cabeceo de un avión.

Solución.

Para determinar la ecuación característica del sistema en lazo cerrado, se deben reducir los bloques del diagrama que se muestra en la Figura E6.8, y calcular la función de transferencia de este,

T(s)=(G(s))/(1+G(s))=((K(s+20))/(s〖(s+10)〗^2 ))/(1+(K(s+20))/(s〖(s+10)〗^2 ))=K(s+20)/(s〖(s+10)〗^2+K(s+20))=(K(s+20))/(s^3+20s^2+(100+K)s+20K)

Por lo tanto, se tiene un polinomio para un sistema de tercer orden:

q(s)=s^3+20s^2+(100+K)s+20K

La correspondiente array de Routh, para el polinomio del sistema es

s^3 1 (100+K)

s^2 20 20K

s^1 b 0

s^0 c 0

Donde

b=(2000+20K-20K)/20=100, c=(b*20K)/b=20K

Entonces el sistema es estable siempre y cuando el valor de ganancia K>0.

E6.21. Un sistema viene representado por la ecuación x ̇=Ax, donde

Hállese el intervalo de k donde el sistema es estable.

Solución.

Para determinar el intervalo de k, donde el sistema es estable, se debe obtener el polinomio característico de la matriz, seguido del Routh array de la ecuación obtenida, por lo cual tenemos que,

Det=[A-Is],.donde I es la matriz de identidad,.por lo que I=[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

Entonces, el polinomio característico viene dado por la determinante

Det[■(0&1&0@0&0&1@-1&-k&-2)]-[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]s=Det[■(0&1&0@0&0&1@-1&-k&-2)]-[■(s&0&0@0&s&0@0&0&s)]=Det[■(-s&1&0@0&-s&1@-1&-k&-2-s)]

Det[■(-s&1&0@0&-s&1@-1&-k&-2-s)]=-s[■(-s&1@-k&-2-s)]-1[■(0&1@-1&-2-s)]+0[■(0&-s@-1&-k)]

Det[■(-s&1&0@0&-s&1@-1&-k&-2-s)]=-s[s^2+2s+k]-1[1]=-s^3-2s^2-ks-1=s^3+2s^2+ks+1

A partir de lo anterior, la ecuación característica es

q(s)=s^3+2s^2+ks+1=0

La correspondiente array de Routh, para el polinomio del sistema es

s^3 1 k

s^2 2 1

s^1 b 0

s^0 c 0

Donde

b=(2k-1)/2=100, c=(b(1))/b=1

Entonces el sistema es estable siempre que K>0.5

P6.3. La soldadura de arco es una de las áreas de aplicación más importantes de los robots industriales [11]. En la mayoría de los casos de soldadura industrial, la incertidumbre en las dimensiones de las partes, la geometría de la junta y el proceso mismo de soldar requieren el uso de sensores para mantener la calidad. Como se muestra en la Figura P6.3, diversos sistemas emplean dispositivos visuales para medir la geometría de la mezcla de metal fundido. Este sistema emplea una velocidad constante de alimentación del alambre que se va a fundir.

Calcúlese el valor máximo de K para el sistema que proporcionará un sistema estable.

Para la mitad del valor máximo de K del apartado (a), determínese las raíces de la ecuación característica.

Determínese la sobreelongación del sistema apartado (b) cuando está sujeto a una entrada de escalón.

Figura P6.3. Control de soldadura.

Solución.

Teniendo en cuenta que

G(s)=K/((s+1)(s+2)(0.5s+1)),H(s)=1/(0.005s+1)

Donde G(s) es el producto del bloque controlador y de proceso de fundición del cable, y H(s) es el sistema de visión, como se aprecia en la Figura P6.3, Por lo tanto la función de transferencia del sistema es,

T(s)=(G(s))/(1+GH(s))=(K/((s+1)(s+2)(0.5s+1)))/(1+K/((0.005s+1)(s+1)(s+2)(0.5s+1)))=(K/((s+1)(s+2)(0.5s+1)))/(((0.005s+1)(s+1)(s+2)(0.5s+1)+K)/((0.005s+1)(s+1)(s+2)(0.5s+1)))

T(s)=(G(s))/(1+GH(s))=(K(0.005s+1))/((0.005s+1)(s+1)(s+2)(0.5s+1)+K)=(K(0.005s+1))/(0.0025s^4+0.5125s^3+2.52s^2+4.015s+2+K)

...