Dinamica De Rotacion

DINÁMICA DE ROTACIÓN

1. OBJETIVO

Observar el movimiento de rotación de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas, determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad. Además, se debe considerar la conservación de energía la cual nos ayudará a encontrar el valor de aquel momento de inercia experimentado.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

La energía cinética de traslación de las partículas y cuerpos rígidos está dada por:

EC,T = ½ m vc2 ……………………………….. (1)

Donde vc es la velocidad lineal del centro de masa.

Por otra parte la energía cinética de rotación de los cuerpos rígidos se expresa por:

EC,R = ½ I w2 ………………………………... (2)

Donde I es el momento de inercia del cuerpo rígido con respecto a un eje de rotación y w su la velocidad angular con respecto al mismo eje .

DETERMINACIÓN TEÓRICA DEL MOMENTO DE INERCIA

El Momento de Inercia I de un cuerpo respecto a un eje de rotación se define por:

I = r2 dm ………………………………… (3)

Donde r es la distancia de un diferencial de masa δm al eje de rotación.

Eje de rotación

r δm

MOMENTO DE INERCIA DE ALGUNOS CUERPOS

Cuerpo Eje Momento de Inercia I

Disco MR2/2

Tubo Cilíndrico M(R22 + R12)/2

UNIDADES

En el sistema internacional SI las unidades para el momento de inercia son:

Kg.m2

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA

Para obtener el momento de inercia de un cuerpo en forma experimental, permitiremos que este ruede sin resbalar por un plano inclinado. Además, debemos tener en cuenta los siguientes consideraciones:

a) La conservación de la energía mecánica.

b) Los conceptos de energía cinética de rotación y de traslación.

c) El desplazamiento del cuerpo debe ser sólo por rodadura sin deslizamiento. La posición del cuerpo esta representada por la posición de su centro de masa "G".

Fig. 1 Disco con un eje que rueda sobre un riel

Si el cuerpo pasa de la posición Go a la posición G4, tendremos por el Teorema trabajo-energía:

(Ep + Ec)o = (Ep + Ec)4 + Wfrición

Donde Wfrición se refiere al trabajo realizado por fuerzas las externas; en nuestro caso debido a la fuerza de fricción.

En el caso que el cuerpo parta del reposo en Go tendremos que el trabajo realizado por la fricción estará dado por:

mgho = mgh4 + Ec4 + Wf …………………………. (4)

Para escribir esta ecuación hemos tenido en cuenta el esquema de la figura 1. La ecuación (4) representa la pérdida de energía mecánica por rozamiento.

Ahora, si tenemos en cuenta las condiciones exigidas para este experimento, tendremos Wf = 0, es decir, como la rueda no resbala podemos asumir que la pérdida de energía mecánica por fricción es despreciable. Además, la ausencia de deslizamiento significa que el punto de contacto del eje juega el papel del centro instantáneo de rotación de modo que:

vG = ωG r …………………………………. (5)

Donde vG es la velocidad lineal del cuerpo en alguna posición G, mientras que ωG representa la velocidad angular del cuerpo en la misma posición G respecto a su eje de simetría o de rotación; y r el radio del eje de giro.

Luego, teniendo en cuenta las ecuaciones (1), (2), (4) y (5) se obtiene la siguiente ecuación:

mgho - mgh4 = ½ mv42 + ½ IGv42/r2 ………………….. (6)

Es decir, si conocemos la velocidad del cuerpo en el punto 4 (v4) prácticamente estaría determinado el momento de inercia (IG) del cuerpo con respecto al eje de simetría.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Considerando que el movimiento del centro de masa del cuerpo es uniformemente acelerado (ver pregunta del cuestionario) y que parte del reposo, tendremos las siguientes ecuaciones que permiten determinar v4 directamente del experimento:

Desplazamiento: x = ½ at2

Velocidad instantánea: v = at

Donde x es la distancia recorrida y a la aceleración del movimiento. Combinando las ecuaciones tendremos la velocidad del cuerpo:

v = 2x/t ……………………………… (7)

3. EQUIPOS Y MATERIALES

Un par de rieles paralelos

Una rueda de maxwell

Un cronometro

Un pie de rey

Una regla milimetrada

Una balanza

Un nivel

4. PROCEDIMIENTO:

Al recoger los materiales con los cuales se trabajaran, se procede a acoplar las varillas sobre el tablero de MAPRESA, luego, se utilizan los tornillos de abajo para poder nivelar el tablero. Se debe asegurar que la volante (Rueda de Maxwell) no se escape para los costados, para esto se regula con el uso del nivel el cual indica si el tablero esta debidamente alineado. Así es la manera de llegar al perfecto balance del tablero.

A continuación, se segmenta el soporte con las medidas requeridas para la experiencia, de tal manera que se puedan efectuar las medidas de tiempo con el cronómetro. Estos resultados luego se insertan en las tablas requeridas en la guía del laboratorio. Para poder obtener los resultados deseados, el ángulo de inclinación de las varillas no debe exceder el límite que haga que la rueda de Maxwell se deslice en vez de que gire. En la eventualidad que esto suceda, se debe disminuir la pendiente para asegurar que la volante realice el movimiento deseado.

La primera forma de segmentar las varillas es separando los puntos A0, A1, A2, A3, A4, cada uno con 10 centímetros de separación entre ellos. Luego, se utiliza el cronómetro para tomar las medidas de tiempo que toma a la volante de deslizarse desde el punto A0, hasta A1. Se repite el procedimiento 3 veces y se anota en una tabla. Luego, se repite el procedimiento para los tamos A0A2, A0A3 y para A0A4 se toman 10 mediciones.

Antes de pasar a la segunda parte de la experiencia, se debe medir la altura del punto A0 con respecto al tablero de MAPRESA, también la del punto A4. Se toma ese lugar como referencia, debido que el tablero ha sido nivelado con respecto a la mesa. La medida del peso de la volante también debe ser tomado, para esto se utiliza la balanza.

Para la segunda experiencia, se modifica la inclinación de las varillas, de tal manera que tenga mayor pendiente. En este caso, se vuelven a tomar medidas de tiempo, pero solo desde A0 hasta A4, y solo 3 repeticiones. Por otro lado, las alturas de los puntos son también medidas, y anotadas.

Finalmente, se indica tomar las dimensiones de la rueda de Maxwell de tal manera que luego, se pueda calcular el momento de inercia de toda la volante. Para esto, se utiliza el vernier, el cual es un instrumento de medición preciso para pequeñas medidas. Así es como se estudia también el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre las rieles.

Además, de la mayor cantidad de valores de la rueda. Por ejemplo, se considera la rueda externa, la rueda interna, las barras que se encuentran entre ambas ruedas y el eje cilíndrico del medio. Estas 4 secciones, forman la rueda de Maxwell.

5. TABLAS DE RESULTADOS

Masa de la Rueda de Maxwell = 478.4 gramos

Primera Inclinación

G0= 7.7 cm G4= 3.6 cm

∆G = 4.1 cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tprom

A0A1 t1 6.86 6.85 6.74 6.82

A0A2 t2 10.16 19.62 10.12 10.30

A0A3 t3 13.05 12.84 12.60 12.80

A0A4 t4 14.77 14.66 14.73 14.28 14.38 14.52 14.32 14.59 14.50 14.54 14.53

Segunda Inclinación

G0= 10.8 cm G4= 4.4 cm

∆G = 6.4 cm

tprom

A0A4 t4 11.83 11.94 11.84 11.9

Medidas de la Rueda de Maxwell

6. CÁLCULOS Y RESULTADOS

1) Considerando los tiempos promedios pata t1, t2, t3, y t4, grafique los puntos (0,0), (t1,A0A1),… (t4,A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?

Los valores hallados para formar la curva de x vs. tm, son los siguientes:

x (cms) 0 10 20 30 40

t (seg) 0 6.82 10.30 12.80 14.53

Ajuste de la Curva

xi yi xiyi xi2 xi2yi xi3 xi4

6.82 10 68.20 46.51 465.10 317.21 2163.40

10.30 20 206 106.10 2122 1092.70 11255.10

12.80 30 384 163.80 4914 2097.20 26843.50

...