Dinamica Rotacional

DINÁMICA DE ROTACIÓN

OBJETIVO TEMÁTICO

Analizar el movimiento de un cuerpo rígido y aplicar conceptos de dinámica y energía en una Rueda de Maxwell en traslación y rotación.

OBJETIVO ESPECÍFICO

. Encontrar experimentalmente la relación entre la energía potencial y la energía cinética de traslación y rotación de un cuerpo que inicia su movimiento partiendo del reposo sobre un plano inclinado constituido por dos ejes. El movimiento es por rodadura y por consiguiente una de las componentes energéticas del modelo matemático será rotacional, cuyo momento de inercia respe4cto al eje de giro se calculará indirectamente.

Calcular de manera directa los valores de los momentos de inercia de cada componente, sumándolos y comparándolos con el resultado anterior.

FUNDAMENTO TEÓRICO

MOMENTO DE INERCIA

Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

I=mr^2

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

I= ∑▒〖m_i 〖r_i〗^2 〗

Para un cuerpo de masa continua se generaliza como:

Figura 1. Momento de inercia

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: a = F/m tiene como equivalente para la rotación:

τ = Iα

Dónde:

“τ” es el momento aplicado al cuerpo.

“I”es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

α= (d^2 θ)/(dt^2 ) es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es 1/2 mv^2, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es1/2 Iω^2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

L ⃗=I ⃗

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

I_eje= I_eje^((CM))+ Mh^2

dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Tenemos que calcular la cantidad

I= ∑▒x_i^2 m_i

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mí al eje de rotación.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

I= ∫▒〖x^2 dm〗

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.

ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada una de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

Figura 2. Fuerzas resultantes sobre partículas

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que:

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda:

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·, la ecuación anterior la escribimos

TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdt en el tiempo dt es

Figura 3. Trabajo realizado sobre un cuerpo rígido

F·senθ es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es:

En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=Iα, y la definición de velocidad angular y aceleración angular.

Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.

DESCOMOPOSICON DE LA ENERGIA CINETICA EN ENERGIA DE TRASLACION Y ENERGIA DE ROTACION

La rueda de maxwell consta de un aro de radio R y un eje concéntrico de radio r(r<R). Al dejar al eje sobre los rieles el sistema experimentara un movimiento de rodadura. En la figura 1 se muestra un rueda de maxwell en dos posiciones de su movimiento. G0 y G4 son la posiciones del centro de gravedad de la rueda en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria

Figura 4. Eje sobre el cual se desplaza la rueda de Maxwell

Por el principio de conservación de la energía:

EP0 +EC0 =EP4 +EC4 +WFRICCION

Si en G0 la rueda parte del reposoMgh0=mgh4 +Fricción

Mgh_o=Mgh_4+fricción

Las pérdidas de fricción, Fricción, se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies de contacto).

Las pérdidas por rodadura son despreciables en el caso de los cuerpos rígidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes.

El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de rotaciones sucesivas con velocidad angular wA alrededor de un eje de giro móvil que pasa por los puntos de contacto entre el eje cilíndrico y los rieles (Ai). Se cumple que la relación VG=wA.r, donde VG es la velocidad del centro de gravedad,

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