EXTENSIONES ALGEBRAICAS

El anillo [pic 1] es un conjunto no vacío [pic 2] con dos operaciones binarias: [pic 3] llamada adicion y [pic 4] llamada multiplicación con las siguientes propiedades:

(R1) Asociativa para la adición

 [pic 5] , [pic 6] 

(R2) Conmutativa para la adicción

[pic 7] , [pic 8]

(R3) Existencia del 0

[pic 9] [pic 10] 

(R4) Propiedad del inverso aditivo

[pic 11] 

(R5)

[pic 12] 

CAMPO O CUERPO ([pic 13] )

[pic 14] 

EXTENSIONES ALGEBRAICAS

Primero debemos saber que es una extensión de cuerpos

Definición de Extensión de cuerpos: Sea F un cuerpo. Una extensión K de F es un cuerpo que contiene a F.

Se denota por:

Definición 1. Sea Κ un sub-cuerpo de ℂ y sea α∈ℂ . Luego α es algebraico sobre Κ si existe un polinomio no nulo p sobre K tal que p(α)=0. De otra manera

Definición: Sea [pic 15] un cuerpo. Una extensión [pic 16] de [pic 17] es un cuerpo que contiene a [pic 18] 

Notación:

[pic 19] 

[pic 20] 

Nota : Sea [pic 21] y [pic 22] cuerpos tales que [pic 23] y [pic 24] algebraico sobre [pic 25] . Si [pic 26] es raíz de un polinomio [pic 27] irreductible entonces

Def. Sea [pic 28] una extensión de [pic 29] sobre [pic 30] . Si [pic 31] es raíz de un polinomio en [pic 32] , entonces se dice que [pic 33] es un elemento algebraico sobre [pic 34] .

Nota. En caso contrario, se dice que α es trascendente sobre F.

Ejemplo:  [pic 35] 

[pic 36]

[pic 37]es una raíz de un polinomio de la forma

[pic 38] 

Por lo tanto [pic 39] es un elemento algebraico de ℚ

Ejemplo: Sea el polinomio [pic 40] , ¿[pic 41]  será un elemento algebraico sobre [pic 42]?

[pic 43] 

Por lo tanto [pic 44] es trascendente sobre [pic 45]

Def. Sea [pic 46] , decimos que [pic 47] es una extensión algebraica , si todo [pic 48] es un elemento algebraico sobre [pic 49] . En caso contrario , si [pic 50] es trascendente sobre [pic 51] , decimos que es extensión trascendente.

Prop. Sea [pic 52],[pic 53] es un elemento algebraico sobre [pic 54] . Entonces:

1. Existe un único polinomio [pic 55] en [pic 56] mónico e irreductible tal que

[pic 57]

1. Si [pic 58] es tal que [pic 59] , entonces [pic 60] 

Demostración:

1. Como [pic 61] es un elemento algebraico [pic 62] 

Tomemos [pic 63] es mónico (grado mínimo) , [pic 64] son cuerpos , [pic 65] 

Suponer que  [pic 66] , donde [pic 67]

Luego,

[pic 68] 

[pic 69] 

( como el dominio es un dominio de integridad, es decir que no contiene divisores de cero)

Se sabe que:

 [pic 70] es mónico

[pic 71]

[pic 72] Porque [pic 73] ya no sería de grado mónico

Por lo tanto [pic 74]es un polinomio mónico y de grado mínimo.

1. Sea  [pic 75] 

[pic 76] , donde [pic 77] ,

...