Ecuaciones Diferenciale Exactas

Ecuaciones diferenciales exactas

La ecuación M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial exacta si

existe una función f de dos variables,con derivadas parciales cointinuas,tal que

f_x (x,y)=M(x,y) y f_y (x,y)=N(x,y)

La solución general de la ecuación es f(x,y)=c

Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial (2xy-3x^2 )dx+(x^2-2y)dy=0

La ecuación diferencial es exacta,por que

∂M/∂y=∂/∂y [2xy-3x^2 ]=2x=∂N/∂x=∂/∂x [x^2-2y]

Su solución general,f(x,y)=C,viene dada por

f(x,y)=∫▒〖M(x,y)dx 〗

f(x,y)=∫▒〖(2xy-3x^2 )dx=x^2 y-x^3+g(y) 〗 (1)

Para determinar g(y)se deriva parcialmente en y la funció f(x,y)y se compara el

resultado co N(x,y)

f_y (x,y)=N(x,y)

f_y (x,y)=∂/∂y [x^2 y-x^3+g(y)]=x^2+g´(y)

x^2+g´(y)=x^2-2y →g´(y)=-2y

Sí g´(y)=-2y → g(y)=∫▒〖-2ydy〗=-y^2+C

Remplazando en (1) tenemos:f(x,y)=x^2 y-x^3-y^2+C

Factores integrantes

Cuando una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

no es exacta cabe la posibilidad de que se convierta en exacta al multiplicarla

por un factor integrante de esa ecuación diferencial.

Dada la ecuación diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

1.Sí 1/N(x,y) [M_y (x,y)-N_x (x,y)]=h(x) es función sólo de x,entonces

e^∫▒〖h(x)dx 〗 es un factor integrante

2.Sí 1/M(x,y) [N_x (x,y)-M_y (x,y)]=k(x) es función sólo de y,entonces

e^∫▒〖k(y)dy 〗 es un factor integrante

Ejemplo.Resolver la ecuación diferencial (y^2-x)dx+2ydy=0

La ecuación diferencial no es exacta,por que M_y (x,y)=2y y N_x (x,y)=0

Como (M_y (x,y)-N_x (x,y))/N(x,y) =(2y-0)/2y=1=h(x)

El factor integrante es: e^∫▒h(x)dx=e^x

multiplicando la ecuación por este factor obtenemos

(y^2 e^x-xe^x )dx+2ye^x dy=0 que es una ecuación diferencial exacta

cuya solución es:

f(x,y)=∫▒〖N(x,y)dy=∫▒〖2ye^x dy=y^2 e^x+g(x) 〗 〗

f_x (x,y)=y^2 e^x+g´(x)=y^2 e^x-xe^x

g´(x)=-xe^x →g(x)=-xe^x+e^x+C

Remplazando g(x)obtenemos: f(x,y)=y^2 e^x-xe^x+e^x+C

y^2 e^x-xe^x+e^x=C ↔y^2-x+1=Ce^(-x)

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Una ecuación diferencial es lineal de primer orden si es de la forma

dy/dx+P(x)y=Q(x) donde P y Q son continuas de x

La ecuación diferencial lineal de primer orden dy/dx+P(x)y=Q(x)

admite el factor integrante u(x)=e^∫▒P(x)dx.

La solución de la ecuación diferencial es:

ye^∫▒P(x)dx=∫▒〖Q(x)〗 e^∫▒P(x)dx dx+C

Ejemplo 1. Hallar la solución general de xy´-2y=x^2

La ecuación es equivalente a: y´-(2/x)y=x en donde P(x)=-2/x

∫▒〖P(x)dx=-∫▒〖2/x dx=-Inx^2 →e^∫▒P(x)dx=e^(-Inx^2 )=1/x^2 factor integrante〗〗

Solución ye^∫▒P(x)dx=∫▒Q(x) e^∫▒P(x)dx dx+C

Remplazando obtenemos: y/x^2 =∫▒〖x 1/x^2 〗 dx+C

y/x^2 =∫▒〖1/x dx+C〗

y=x^2 (In|x|+C) Solución general

Ejemplo

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