Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas

Definición:  Consideremos una función definida en varias variables expresada de la forma y  supongamos que sus derivadas parciales son continuas en una región R del plano XY. Definimos su diferencial como[pic 1]

[pic 2]

Particularmente, si la variable Z permanece constante, su diferencial será igual a cero, entonces estará expresado de la siguiente forma:

[pic 3]

Tomando en cuenta el diferencial de Z y su particularidad cuando Z=C, decimos que una expresión de la forma   es un diferencial exacto en una región R del plano XY si corresponde con el diferencial de una función ) es decir, tal que[pic 4][pic 5]

[pic 6]

Los diferenciales exactos sientan una base para definir una nueva clasificación para las ecuaciones diferenciales. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria expresada de la forma

[pic 7]

Diremos que esta es una Ecuación Exacta si  es un diferencial exacto.[pic 8]

A continuación, veremos entonces un criterio que nos determinará las condiciones que deben cumplir las funciones M y N para que estás definan un diferencial exacto.

Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)

Sean  y  dos funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región R una región rectangular en el plano XY en su interior, entonces una condición necesaria y suficiente para que  sea un diferencial exacto es[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Estableciendo este criterio, veamos ahora que si consideramos una ecuación diferencial expresada de la forma  entonces podemos seguir un procedimiento que nos permitirá calcular la solución de ésta. En los siguientes ejemplos ilustraremos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, usando indistintamente la notación  para  y  para  pues así facilitamos la escritura.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

EJEMPLO 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

[pic 18]

Antes de empezar a calcular la solución de esta ecuación, debemos verificar si ésta es una ecuación exacta pues de otra forma no podemos aplicar el procedimiento. Para esto identificamos las funciones M y N y posteriormente calculamos sus derivadas parciales  y  .[pic 19][pic 20]

[pic 21]

        [pic 22]

Ambas derivadas parciales son iguales a , es decir, . Esta conclusión desata una serie de implicaciones como sigue:  es un diferencial exacto, entonces, la ecuación diferencial planteada es exacta, entonces, las funciones M y N corresponden a los elementos del diferencial de una función, entonces,[pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

Nuestro propósito será el de determinar cuál es la función  que define este diferencial, y ya que contamos con sus derivas parciales procedemos a integrar una de ellas.[pic 27]

Si consideramos  e integramos esta función respecto a la variable Y, obtenemos la función  de la siguiente manera:[pic 28][pic 29]

       [pic 32][pic 30][pic 31]

Notemos que al ser  una función que depende de X y de Y, al calcular la integral de esta respecto a Y, la variable X se comporta como una constante, entonces  será nuestra constante de integración. [pic 33][pic 34]

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