Ecuaciones Logaritmicas

CONTENIDO

.- Introducción

1.- Funciones exponenciales y logarítmicas

1.1 Funciones de crecimiento

1.2 Funciones de decrecimiento

1.3 Curva de (tendencia de) Gompertz

1.4 Curva de tendencia logística

1.5 Función logarítmica

.- Conclusión

.- Bibliografía

.- Fuentes

INTRODUCCIÓN

Se le llama función exponencial de base, si es número real positivo y distinto de 1. La función exponencial se escribe como f(x), y esta se lee como exponencial en base de x.

Los logaritmos son números reales a positivos, se llama logaritmos en base a de N al exponente x al que se eleva, para así de esta manera obtener el número.

Una función de crecimiento es cuando se incrementa el valor de la variable independiente y se incrementa también el valor de la variable dependiente. Dada la función “f” y los valores.

También una función es creciente a un punto cualquiera, cuando se cumple con la propiedad correcta.

La función de decrecimiento es decreciente en un punto cualquiera, la función es decreciente si se cumple con los términos.

La curva de Gompertz es una función sigmoide. Se trata de una serie de tiempo, donde el crecimiento es más lenta en el inicio. La ecuación de Gompertz surge a partir de modelos de crecimiento autorregulados.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Existe una función que desempeña una función importante no sólo en matemáticas, sino también en finanzas, economía y otras áreas de estudio. Incluye una constante elevada a un exponente variable, como f(x)=2x. A tales funciones les llamamos funciones exponenciales.

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función.

Esta función se escribe también como f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».

LOGARITMOS

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ¹ 0; a ¹ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ¹ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Para indicar que x es el logaritmo en base ha de N se escribe:

LogaN = x

Y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».

Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N

FUNCIONES DE CRECIMIENTO

• Cuando al incrementarse el valor de la variable independiente (x), se incrementa también el valor de la variable dependiente f(x). Dada la función “f” y los valores: X1 y X2 del dominio, será creciente si: x1 < x2 f(x1) < f(x2).

f es estrictamente creciente en a si: f'(a) > 0

La función es creciente y por tanto es una función uno a uno. A medida que el valor de la variable independiente se hace más negativa, el valor de la función se acerca a cero, tomando valores positivos, pero nunca llega a ser cero. Se dice, entonces que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función.

Una función es estrictamente creciente en un punto cualquiera

a) cuando se cumple la siguiente propiedad:

La función f es estrictamente creciente en a⟺∃E(a) tal que ∀x∈E(a) se cumple:

x>a x<a ⟹ ⟹ f(x)>f(a) f(x) <f(a)

FUNCIONES DE DECRECIMIENTO

Decimos que una función f(x) es decreciente en intervalo [a, b] si dados dos puntos de [a, b], x 1 y x 2 tal que x 1 <x 2 entonces f(x 1) ⩾f(x 2).

En el mundo real ocurren fenómenos de decrecimiento exponencial, que pueden ser modelados mediante la función con y .

Por ejemplo, algunos elementos radiactivos, como el uranio, se desintegran siguiendo el modelo exponencial citado anteriormente.

En esta sección es importante el concepto de vida media, que se define como el tiempo requerido para que la mitad de una sustancia radioactiva presente en un tiempo inicial se desintegre.

Esta importante propiedad se utiliza para calcular la edad de objetos antiguos como fósiles, utilizando el hecho de que el carbono 14 presente en los seres vivos se renueva constantemente y la relación entre el carbono y su isótopo, el carbono 14 permanece constante.

Una función es decreciente en un punto cualquiera a cuando se cumple la siguiente propiedad:

La función f es decreciente en a⟺∃E(a) tal que ∀x∈E(a) se cumple:

x>a x<a ⟹ ⟹ f(x) ≤f(a) f(x) ≥f(a)

CURVA DE (TENDENCIA DE) GOMPERTZ

Una curva de Gompertz o función Gompertz, el nombre de Benjamín Gompertz, es una función sigmoide. Se trata de un tipo de modelo matemático para una serie de tiempo, donde el crecimiento es más lenta en el inicio y el final de un período de tiempo. El valor asíntota de la derecha o futuro de la función se aborda mucho más gradualmente por la curva de la asíntota valorado izquierda o inferior, en contraste con la función logística simple en la que ambas asíntotas son abordados por la curva simétricamente. Se trata de un caso especial de la función logística generalizada.

La ecuación de Gompertz surge a partir de modelos de crecimiento autorregulados, donde la tasa de crecimiento decrece exponencialmente con el tiempo después de alcanzar el punto de inflexión.

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