Ecuación Logaritmica

Ecuación Logarítmica

Propiedades elementales de los logaritmos :

Resolver una ecuación logarímica consiste en determinar para qué valores de la incógnita (x) la igualdad se convierte en identidad. Si tienes dudas, alguna de las propiedades de arriba te puede ser útil.

Ejercicios resueltos:

log2512= -3x+9 =>512=2-3x+9 <=>29= 2-3x+9 <=> 9=-3x+9 <=> 3x=0 <=> x=0

log4(5x+6)=4 => 5x+6=44 <=> 5x+6=256 <=> 5x=250 <=> x=50

Solución: X=

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos.

2

3

4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

1. ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita figura en un logaritmo.

Para resolver una ecuación logarítmica se aplican las propiedades de los logaritmos:

loga (M × N) = loga M + loga N M N

N

M

loga = loga - loga M n a M

n

loga = × log

y la relación loga M = loga N Û M = N (si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, entonces

los números han de ser también iguales).

De esta forma, la ecuación dada se debe expresar en la forma loga M loga N , pues de esta ecuación se pasa a la

ecuación algebraica M N, que se resuelve como ya sabemos.

Resolvamos las siguientes ecuaciones logarítmicas.

•log x log 20 3

Logaritmo de un producto: log 20x 3

Como log 1.000 3, escribimos la ecuación así: log 20x log 1.000

Por la igualdad de logaritmos: 20x 1.000

Resolvemos esta ecuación algebraica: x 1.000/20 x 50

Observa que, también, la ecuación log 20x 3 se puede resolver directamente aplicando la definición de logaritmo:

log 20x 3 20x 103 20x 1.000 x 1.000/20 x 50

•2 log x log (4x 12)

Logaritmo de una potencia: log x2 log (4x 12)

Por la igualdad de logaritmos: x2 4x 12

Resolvemos esta ecuación de 2º grado: x2 4x 12 0 x 6, x 2

Atención: Al resolver una ecuación logarítmica pueden aparecer soluciones no válidas como sucede en el ejemplo

anterior. La raíz x 2 no es válida ya que log (2) no existe (recuerda que en la definición de logaritmo

de un número N se exigía N > 0). Por lo tanto, la única solución válida es x 6.

•log x3 log 6 2 log x

Logaritmo de una potencia: 3 log x log 6 2 log x

Pasamos la incógnita al primer miembro: 3 log x 2 log x log 6

Operamos: log x log 6

Por la igualdad de logaritmos: x 6

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•2 log x log (x 16) 2

Logaritmo de una potencia: log x2 log (x 16) 2

Como log 100 2, escribimos la ecuación así: log x2 log (x 16) log 100

Logaritmo de un cociente: log 100

16

log

2



x 

x

Por la igualdad de logaritmos: 100

16

2



x 

x

Operamos: x2 100(x 16) x2 100x 1.600 x2 100x 1.600 0

Se resuelve esta ecuación algebraica: x 20, x 80

Nuevamente, esta ecuación también se podría haber resuelto aplicando la definición de logaritmo:

log x2 log (x 16) 2 2

16

log

2



x 

x

10 100

16

2

2



x 

x

EJERCICIOS

1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) log 3 x 4 b) log 2 x 1 c) 3 log x 3 d) log x2 10

e) log 5 x log 5 30 3 f) log x 1 log (22 x) g) log x2 log x 3 h) log x log 30 4

2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) log (2x2 3) log (x2 5x 3) b) 2 log x log (5x 6) c) log (x2 5) log (7x 1)

d) 4 log x 2 log x log 4 2 e) 2 log x3 log 8 3 log x f) 2

log (3 4)

log (16 2 )







x

x

3. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) x

x

2 2log

10

log b) 1 log (21 )

2

log x

x



c) 









5

37

log (10 x) 1 log 2x d) log (2x 3) log (3x 2) 2 log 25

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema de ecuaciones en el que una al menos de las ecuaciones

es logarítmica.

Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas se aplican los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

lineales y las ecuaciones logarítmicas.

•Primer método: aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Resolvamos el sistema de ecuaciones logarítmicas







2log 2log 2

log log 3

x y

x y

a) Dividimos la 2ª ecuación por 2, obteniendo:







log log 1

log log 3

x y

x y

Se suman las dos ecuaciones: 2 log x 2

Dividimos por 2 y se resuelve: log x 1 x 101 10

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Sustituimos x 10 (ó log x 1) en cualquiera de las dos ecuaciones y hallamos el valor de la otra incógnita; por

ejemplo, en la 1ª ecuación:

1 log y 3

Resolvemos: log y 2 y 102 100

b) Algunas veces es cómodo considerar log x, log y, … como incógnitas, haciendo la sustitución o cambio de variable

a log x, b log y, …

Con dicho cambio obtenemos el sistema lineal:







2 2 2

3

a b

a b

Resolviendo se obtiene: a 1, b 2

Se deshace el cambio: a log x 1, de donde x 10

b log y 2, de donde y 100

•Segundo método: resolvamos, de maneras distintas, el siguiente sistema formado por una ecuación algebraica y

otra logarítmica.







log log 2

21

x y

x y

a) Aplicando las propiedades de los logaritmos para transformar el sistema en otro algebraico.

Aplicamos el logaritmo de un producto en la 2ª ecuación: log xy 2

Como log 100 2, escribimos la ecuación así: log xy log 100, de donde xy 100

Pasamos así al sistema algebraico siguiente:







100

21

xy

x y

Para resolverlo, despejamos y en la 1ª ecuación: y x 21 [1]

Y sustituimos en la segunda: x(x 21) 100

Resolvemos la ecuación algebraica correspondiente: x2 21x 100 x 4, x 25

La raíz x 4 no es válida. Obtenemos y de [1]: y x 21 25 21 4

La solución del sistema es: x 25, y 4

b) Aplicando los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver una ecuación logarítmica.

Despejamos la variable y en la primera ecuación: y x 21

Sustituimos en la segunda ecuación: log x log (x 21) 2

Resolvemos dicha ecuación logarítmica: log [x(x 21)] 2

Mediante la definición de logaritmo: x(x 21) 102 100 x 4, x 25

Al igual que anteriormente: x 25, y 4

Ejemplo. Resuelve el sistema











log 1

log 3log 5

y

x

x y

...