Glosario Ecuaciones diferenciales ordinarias

Universidad Central de Venezuela

Facultad de Ingeniería

Núcleo Experimental “Armando Mendoza”

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Profesor                                                                Bachiller

   Mendoza Víctor                                                           Mellado Hanri

                                                                                      C.I.: *********

A

B

C

• Clasificación:

     Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, grado, orden y linealidad.

Clasificacion según el tipo:

• Si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una Ecuacion diferencial ordinaria. Ejemplo:

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• Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o mas variables dependientes, con respecto de dos o mas variables independientes, se llama Ecuacion en derivadas parciales.

Clasificacion según el grado:

                        El grado de una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en la variable desconocida y sus derivadas, es la potencia a la cual está elevada su derivada de mayor orden. Ejemplo:

 ,   Ecuacion de grado 7[pic 5]

Clasificación según el orden:

                        El orden de de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Ejemplo:

[pic 6]

     Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los simbolos

[pic 7]

Clasificación según su linealidad o no linealidad:

             Una ecuación diferencial de la forma         de n-ésimo orden con la variable dependiente y y la varible independiente x, es lineal.[pic 8]

     De igual modo, puede escribirse:

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• Si Q(x)=0, la ecuación diferencial ordinaria se llama lineal homogénea
• Si Q(x)ecuacion diferencial ordinaria se llama lineal no homogénea[pic 10]
• Si los coeficientes no dependen de x se dice que la ecuación diferencial ordinaria lineal es de coeficientes constantes. De lo contrario se dice que es de coeficientes variables[pic 11]
• Una ecuación que no es lineal se dice no lineal

• Curva integral:

Esta se define como la curva cuya solución particular de una ecuación diferencial.

• Curva solucion:

La grafica de una solución   de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución, esto porque  es una función derivable, es continua en su intervalo de definición I. Puede haber diferencia entre la grafica de la función  y la grafica de la solución . Es decir, el dominio de la función  no necesariamente va a ser igual al intervalo de definición I (o dominio) de la solución .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

D

E

• Ecuacion auxiliar:

Es una ecuación algebraica de grado n de la que depende la solución de una ecuación diferencial de orden n o de una secuencia lineal recurrente dada. La ecuación auxiliar (o característica) solo se puede formar cuando la ecuación diferencial es lineal, homogénea y tiene coeficientes constantes.

Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación de segundo orden

ay’’+ by’+ cy= 0

Donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma y=, entonces después de sustituir y’=, la ecuación se convierte en[pic 18][pic 19]

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debido a que  para toda x, es obvio que la única forma en que  puede satisfacer la ecuación diferencial ay’’+ by’+ cy= 0[pic 21][pic 22]

 es cuando se elige m como una raíz de la ecuación cuadrática [pic 23]

Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar de la ecuación diferencial. Como las dos raíces de  son  habrá tres formas de la solución general que corresponden a los tres casos:[pic 24][pic 25]

• reales y distintas ([pic 26][pic 27]

• reales e iguales ()[pic 28][pic 29]

• y números conjugados complejos ()[pic 30][pic 31][pic 32]

• Ecuacion de Bernoulli:

La ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial del tipo:

y’+P(x)y=Q(x)[pic 33]

        Donde α es un numero real tal que α≠0 y α≠1. Esta es una ecuación no lineal, pero por medio de la sustitución   puede transformarse en la ecuación diferencial lineal , cuya función incógnita es z.[pic 34][pic 35]

        En otro caso, si α=0 es lineal y si α=1, de variables separadas. Ahora bien, un diferente método de resolución es el siguiente: se descompone y(x)=u(x) v(x) y se sustituye en la ecuación diferencial, se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v’+a(x)v=0, que es de varibles separadas), lo que nos lleva a determinar v, pareciendo ahora una ecuación en u(x) de variables separadas.

• Ecuacion diferencial:

Es una ecuacion que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes.

Su expresión es de forma F (x,y,y’,…,)=0, donde F es una función real definida en un intervalo abierto e y(x) es una función real de variable real. Como se puede apreciar es una expresión en la que aparecen ligadas una variable x que será la variable independiente y  n la primeras derivadas con respecto a x de una variable y, que es la variable dependiente; esto, por ser una función dependiente de la variable x.[pic 36]

• Ecuacion diferencial exacta

Se llama exacta a una ecuacion diferencial de la forma:

[pic 37]

Donde  y’= que cumple de modo que[pic 38][pic 39]

 , para que una ecuación diferencial sea exacta se debe determinar que la derivada parcial con respecto a x y con respecto a y cumpla con la forma [pic 40][pic 41]

Metodo de resolución:

1)   [pic 42]

 [pic 43]

3) g(y)=(x,y)dy-[pic 44][pic 45]

4) [pic 46]

• Ecuacion diferencial lineal:

             Son ecuaciones de la forma  donde P(x)  yQ(x) son funciones dependientes de x o constantes.[pic 47]

• Ecuacion diferencial ordinaria

Una ecuación diferencial se dice ordinaria si la función incognita solo depende de una variable independiente.

 Forma implícita[pic 48]

  Forma explicita[pic 49]

        Donde y=y(x) es la función incognita.

• Ecuacion diferencial parcial

Se llama ecuación diferencial parcial a aquella que posee derivadas parciales

F

• Factor integrante

Sea la ecuación diferencial  con  se dice que no es exacta, pero existe una función tal que al multiplicar por éste queda: [pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

La ecuación exacta admite un factor integrante, siendo v un arreglo de x y de y, si y solo si:

[pic 54]

F (v) es una función del arreglo v seleccionado y el factor integrante se determina: [pic 55]

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