Calculo de varias variables y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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División de Ciencias Exactas,

Ingeniería y Tecnología

Lic. en Enseñanza de las matemáticas

 4° Semestre

Fase 1, formación matemática

Módulo 7. Calculo de varias variables y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Unidad 2

Actividad de Aprendizaje 3

Integrales triples.

NOMBRE DEL ESTUDIANTE Ulises Pacheco Sánchez

Docente en línea: María Luisa Aguilar Vera.

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Ejercicio 1

Elabora un reporte de investigación que incluya:  

• Los tres tipos de regiones sólidas simples y un ejemplo gráfico de cada uno

La definición del área de una region plana a la definición de la integral definida. En este proceso se emplea formula de la geometría plana para el area de un rectángulo. Se utiliza en procesos semejantes con el proceso de obtener volúmenes de algunos tipos particulares de sólidos. Uno de los sólidos es el cilindro recto.

Definición de volumen de un sólido:

Sea  un sólido tal que  esta entre dos planos perpendiculares al eje  en  y . Si la media de la sección plana , perpendicular al eje , esta dada por  donde  es continua en , entonces la medida del volumen está dada por[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

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El termino de rebanado se utiliza cunado se aplica la definición para calcular el volumen de sólido. El proceso es semejante al rebanado de una hogaza de pan en muchas proporciones delegadas de modo que todas las porciones juntas constituyen la hogaza completa.

Método de Discos:

Este método es útil cuando el eje de rotación es parte del contorno del area plana.

1. Hacer el dibujo del area, de una franja representativa perpendicular al eje de revolución, y del rectángulo aproximadamente, como en el capítulo anterior (area planas por integración).
2. Describe el volumen del disco (o cilindro) generado al girar un rectángulo aproximadamente entorno al eje de revolución y sumar para los  rectángulos.[pic 14]
3. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar teorema fundamental.

Cuando el eje de revolución es el eje  y la frontera superior del area plana viene dada por una curva  entre y , el volumen de  del solido revolución viene dado por[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

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Ejemplo:

Calcule el volumen del solido generado al girar alrededor de la recta , la region limitada por las dos parábolas , .[pic 21][pic 22][pic 23]

Solución:

Las curvas se intersectan en los dos puntos . La region y un elemento rectangular de área se muestra figura presenta al solido de revolución, así como el elemento del volumen, en el cual es una arandela.[pic 24]

Sean  y . El número de unidades cubicas del volumen de la arandela circular es[pic 25][pic 26]

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Conclusión: el volumen del solido de revolución es  unidades cubicas[pic 31]

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Método de capas:

Mostrar en una gráfica el area en cuestión, un area representativa para leo al eje de revolución y el rectángulo aproximante.

Escribe el volumen  de la capa cilíndrica engranada al giro el rectángulo aproximadamente en torno al eje de revolución y sumar para los  rectángulos.[pic 33][pic 34]

El número de rectángulos crece independientemente y aplicar el teorema fundamental.

Ejemplo:

Hallar el volumen generado al girar el area del primer cuadrante acotado por la parábola  y sus latus recturn  en torno al eje .[pic 35][pic 36][pic 37]

Solución:

Se debe dividir el area verticalmente, cuando el rectángulo se hace girar aproximadamente en torno al eje  se genera un disco de radio altura  y volumen  .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

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Método de arandelas:

Este método es útil cuando el eje de revolución no es parte del contorno del area plana.

• Igual al paso 1 del método de discos.
• Prolongar los lados del rectángulo aproximadamente  hasta alcanzar el eje de revolución en los puntos , como se muestra. Cuando el rectángulo aproximadamente se hace girar en torno al eje de revolución. Se forma una arandela cuyo volumen es la diferencia entre los volúmenes generados al girar los rectángulos  y  es torno al eje. Escribir la diferencia entre los dos volúmenes y proceder como en el paso 2 del método de discos.[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]
• Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.

Si el eje de revolución es el eje , la frontera superior del area plana viene dada por [pic 49]

 , la inferior por  y la region va desde  hasta , entocmess el volumen de  del solido de revolución viene dado por[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

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Análogamente, si el eje rotación es el eje y el área plana, en el primer cuadrante, está limitada a la izquierda por el eje , a la derecha por , superiormente por  e inferiormente por  entonces el volumen de  viene dado por [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

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Ejemplo

La region entre las curvas , se gira alrededor del eje , generando un sólido de revolución (método de arandelas).[pic 62][pic 63]

Se obtiene el volumen de las dos partes de la arandela.

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diferenciando los dos volúmenes tanto interno como externo de la arandela.

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