Ecuaciones en diferencia
Enviado por José B. • 14 de Septiembre de 2016 • Apuntes • 662 Palabras (3 Páginas) • 95 Visitas
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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Un sistema de n-ecuaciones lineales de primer orden de la forma:
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Donde:
coeficientes del sistema[pic 8]
función de forzamiento[pic 9]
variable dependiente de la variable independiente[pic 10]
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- Si en el sistema , entonces es homogéneo.[pic 13][pic 14]
- Si es constante, se llama sistema de ecuaciones de coeficientes constantes.[pic 15]
La solución es un vector columna que satisface el sistema, es decir,[pic 16]
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Tipos de Soluciones
- Solución General: es la solución del sistema que contiene tantas constantes como sea el orden del sistema.[pic 18]
- Solución Particular: es la solución que se obtiene de la solución general dándole valores arbitrarios a las constantes y para ello se usan las condiciones iniciales del sistema.
Si el sistema tiene la forma , entonces la solución tiene la estructura .[pic 21][pic 19][pic 20]
- es la solución del sistema homogéneo asociado [pic 22][pic 23]
- es la solución particular del sistema [pic 24][pic 25]
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Sistemas Homogéneos [pic 28]
Consideremos el sistema de orden n, cuya solución es de la forma [pic 29][pic 30]
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Conceptos Básicos
es la matriz de coeficientes.[pic 32]
Se dice que α es un valor propio de , si existe un vector columna que es la solución del sistema , entonces el vector solución se le llama vector propio asociado a α.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
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- Para hallar α basta con determinar .[pic 38]
- Para encontrar resolvemos el sistema homogéneo.[pic 39]
- Cuando p sea parte de una fracción, se le da el mínimo valor a p tal que rompa la fracción.
- Cuando p no es parte de una fracción se le da el valor de 1.
- Ningún vector propio puede ser nulo.
- Todos los vectores propios deben ser, diferentes y linealmente independientes, entre sí.
Valores Propios Reales y Diferentes
Sean , los valores propios reales y diferentes; la matriz de coeficientes y los vectores propios asociados a , [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
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