Ecuaciones en diferencia y optimización dinámica
Enviado por daissdd • 22 de Febrero de 2023 • Exámen • 1.454 Palabras (6 Páginas) • 29 Visitas
Ecuaciones en diferencia y optimización dinámica
Actividad 3. Bernoulli, enfoque cualitativo y segundo orden
1) Resuelve las siguientes ecuaciones por Bernoulli:
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3][pic 4]
Z= Z= Z= [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
m>1, No es lineal
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
= 0[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Sustituimos:
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Pero nuestra condición inicial nos dice que [pic 25]
Por lo que encontraremos el valor de y :
[pic 26]
== y[pic 27]
Y= [pic 28]
Por tanto, su condición inicial es:
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
= 5 [pic 33]
Integramos:
[pic 34]
b) [pic 35]
[pic 36]
[pic 37][pic 38]
Z= Z= Z= [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
m>1, No es lineal
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
= 0[pic 48]
= ( dt[pic 49][pic 50]
= dt[pic 51][pic 52]
- [pic 53][pic 54][pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
Sustituimos:
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
Aplicando Propiedades:
[pic 64]
[pic 65]
Z(t)=At
Pero nuestra condición inicial nos dice que [pic 66]
Por lo que encontraremos el valor de y :
[pic 67]
= y[pic 68]
Y= [pic 69]
Por tanto, su condición inicial es:
Y(t)= [pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Método de sustitución:
[pic 73]
Expresamos así:
[pic 74]
-[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
2) Grafique la línea de fase para cada una de las siguientes ecuaciones:
………………….. [pic 78][pic 79]
[pic 80]
----------- [pic 81][pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85][pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
[pic 90][pic 91][pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95][pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99][pic 100][pic 101]
[pic 102]
[pic 103][pic 104]
[pic 105]
[pic 106]
----------- [pic 107][pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
[pic 111][pic 112]
[pic 113][pic 114]
[pic 115]
[pic 116]
[pic 117][pic 118][pic 119]
[pic 120]
[pic 121]
[pic 122][pic 123]
[pic 124]
[pic 125]
[pic 126][pic 127][pic 128]
[pic 129]
[pic 130][pic 131]
3) Encuentre la solución general de cada ecuación diferencial y luego determine la solución que cumpla con las condiciones iniciales
𝒚(𝟎) = 𝟒 y 𝒚 ′ (𝟎) = 𝟐 :
- [pic 132]
[pic 133][pic 134]
yp = = = 5[pic 135][pic 136]
[pic 137]
[pic 138]
[pic 139]
Usamos la fórmula:
r1,r2 = [pic 140]
r1,r2 = [pic 141]
r1,r2 = [pic 142]
r1,r2 = = r1,r2 = [pic 143][pic 144]
r1 = == 1.79128784747792[pic 145][pic 146]
r2 = == -2.79128784747792[pic 147][pic 148]
verificamos: r1+r2= -a1
r1r2= a2
+ [pic 149][pic 150]
+ + 5[pic 151][pic 152]
Con objeto de determinar el valor de las constantes A i y A 2, ahora necesitamos dos condiciones iniciales. Sean estas condiciones, sean estas 𝒚(𝟎) = 𝟒 y 𝒚 ′ (𝟎) = 𝟐 , Haciendo t = 0
[pic 153]
y(0)= A1+A2+5=4
y(0)= A1+A2=4-5
A1+A2= -1
2do caso de derivadas, y hacemos t=0
= + + 5)[pic 154][pic 155][pic 156]
= + [pic 157][pic 158]
= [pic 159]
= [pic 160]
Y´(0)= =2[pic 161]
Tenemos un sistema de ecuaciones:
A1 + A2= -1
=2[pic 162]
[pic 163]
Ahora multiplicamos por la primera ecuación. [pic 164]
[pic 165]
(- A1 - A2= [pic 169][pic 166][pic 167][pic 168]
=2[pic 170]
= 3.79128784747792[pic 171]
...