Ejercicios de cálculo vectorial
Enviado por aguayo05651 • 23 de Noviembre de 2023 • Tareas • 949 Palabras (4 Páginas) • 20 Visitas
[pic 1]
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
Materia: CÁLCULO VECTORIAL–Paralelo:104. Técnico docente: Fabio Ramírez TALLER No. 1 – Fecha: 04 de Junio del 2021. Horario: 09:00 – 11:00
S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A
TEMA 1 (35 puntos)
Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera x2 + + =y2 z2 49 , conociendo que un vector normal al
→ plano es n=(12,6,−4) y que el punto de contacto del plano tangente y la esfera está en el 5to octante.
Solución:
Se obtiene la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por el centro de la esfera y que tiene
→ como vector normal n=(12,6,−4) . Dicha recta coincidirá con el radio de la esfera e intersecará al plano y a la esfera en el punto de tangencia del plano.
x =12t
L: y = 6t
z =−4t
Determinamos el punto de intersección P0 entre la recta L y la esfera reemplazando las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación de la esfera.
P x y z0 ( 0, 0, 0) → =x0 12t0
y0 = 6t0
z0 =−4t0
(12t0)2 +(6t0)2 + −( 4t0)2 =49
144t02 +36t02 +16t02 = 49
196t02 = 49 → =t0 [pic 2]
Reemplazando t0 =[pic 3] en las ecuaciones paramétricas de la recta L, se tienen los puntos (6,3,−2) y
(− −6, 3,2) . Se descarta (− −6, 3,2) por no estar en el 5to octante.
Luego la ecuación del plano tangente es,
12(x− +6 6) (y− −3 4) (z+ =2 0) 2
6(x− +6 3) (y− −3 2) (z+ =2 0)
6 3 2 36 9 4 0x+ − − − − =y z
6 3 2 49 0x+ − − =y z
Rúbrica:
Obtiene la ecuación de la recta L que es perpendicular al plano y que pasa por el centro de la esfera. | 15 puntos |
Obtiene el punto de intersección entre la recta L y el plano, que se encuentra en el 5to octante. | 10 puntos |
Determina correctamente la ecuación del plano acorde a las condiciones dadas. | 10 puntos |
TEMA 2 (30 puntos)
Determine y grafique el dominio de la siguiente función f : 2 →
f x y( , ) = (x2 + −y2 a2)(2a2 − −x2 y2) ,a 0 [pic 4]
Solución:
En la función f el radicando debe ser mayor o igual a 0. Por lo tanto planteamos la desigualdad respectiva.
(x2 + −y a2 2)(2a2 − −x2 y2)0
(x2 + y2 −a2 0)(2a2 −x2 − y2 0) (x2 + y2 −a2 0)(2a2 −x2 − y2 0)
(a2 x2 + y2 2a2)(x2 + y2 a2)(x2 + y2 2a2)
(a2 + x2 y2 2a2)0
2 x2 y2 2a2)
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