El Teorema Central del Límite

Una variable aleatoria se define continua cuando el conjunto de valores que puede tomar es un infinito continuo, es decir, puede tomar cualquier valor en un intervalo. Por el contrario, se define discreta cuando están medidas finitas o infinitas numerables, representan algo que podemos contar, y no suelen llevar decimales. Las distribuciones de probabilidad más utilizadas en variables discretas son la distribución binomial y la distribución de Poisson. La distribución más frecuente en el caso de las variables continuas es la distribución normal.

El Teorema Central del Límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal cuando la cantidad de variables es muy grande. Es decir, garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande. (Monica Martinez)

El teorema central del límite, uno de los fundamentales en estadística, estudia el

comportamiento de la suma de variables aleatorias, cuando crece el número de sumandos, asegurando su convergencia hacia una distribución normal en condiciones muy generales. Este teorema, del cual existen diferentes versiones que se han ido desarrollando a lo largo de la historia, tiene una gran aplicación en inferencia estadística, pues muchos parámetros de diferentes distribuciones de probabilidad, como la media, pueden expresarse en función de una suma de variables. Permite también aproximar muchas distribuciones de uso frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student, gamma, etc., cuando sus parámetros crecen y el cálculo se hace difícil (Devore 2001: 232).

Objetivos

• Exponer la definición del teorema de Limies Centrales

• Mostrar propiedades del teorema Central del Límites

• Aplicar el teorema en ejercicios

Teorema Central de Límite

Este teorema afirma que la distribución de medias muéstrales tiende hacia una distribución normal, aunque las muestras procedan de una distribución no normal determinar un modelo de probabilidad para describir el comportamiento de una variable continua.

Es un Teorema de gran importancia en Estadística, especialmente para la parte de Inferencia Estadística. Establece que si X1,………….,Xn son variables aleatorias independientes con media µi y varianza σi 2, al margen del tipo de distribución que sigan los sumandos, la suma de todas ellas, Y = X1+………+Xn tiende a distribuirse aproximadamente normal, con media µ = (µ1+………..+ µn) y varianza σ2 =( +……….+ )/n, siendo las aproximaciones mejores a medida que aumenta n.

Propiedades

• El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.

• Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

• La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

• Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

• Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.

Biliografia

Monica Martinez, M. M. Utilización Práctica del Teorema de limites Central. Valencia: Universidad Politecnica de Valencia.

Martín

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