Teorema Del Limite Central

Teorema de Límite Central

El conocer la distribución de probabilidad de los estadísticos, permite obtener conclusiones

A partir de una muestra hacia la población en general, proporcionar una medida del error

Que se puede cometer en dichas conclusiones y también permite dar una medida de

Confianza de que ese sea el error y no otro más grande.

Existe un teorema de mucha importancia práctica, que especifica la regularidad estadística

De los promedios (medias aritméticas) obtenidos de las mediciones numéricas en las

Unidades experimentales analizadas en muestras de tamaño n. Es el teorema de límite

Central, que dice:

Consiste en un conjunto de resultados acerca del comportamiento de las distribuciones muéstrales, en el que se afirma, bajo ciertas hipótesis, que la distribución de las medias de un número muy grande de muestras se aproxima a una distribución normal.

Mientras la media y la varianza existan, la distribución de muestreo se aproximara a una distribución normal conforme “n” aumente el teorema se fundamenta en tres propiedades:

Teorema del Límite Central

1) La media de las medias muéstrales en una actividad de muestreo con apego a las bases técnicas, es igual a la media de la población. Entre el valor de la media muestral y el valor de la media de la población, no existe diferencia significativa.

2) El error estándar de la muestra es igual al valor de la desviación estándar de la población dividida entre la raíz cuadrada de “n” .No existe diferencia significativa entre ambos valores.

3) La distribución del muestreo de la media o de la proporción, cuando ha sido realizada técnicamente y el número de observaciones es de treinta o más, tiene un comportamiento normal o aproximadamente normal.

Distribución de la media muestral para variables normales.

Supongamos que tenemos una muestra x1, ..., xn de una variable aleatoria normal.

Recordemos que la media se define como:

Esta media depende de la muestra normalmente tendremos sólo una muestra, pero podríamos tomar muchas diferentes, de manera que a cada una le correspondería una media diferente. Esto nos da pie a hablar de la distribución muestral de la media. Para indicar que se trata de una variable aleatoria, la denotaremos por

Aplicaciones para medias

Estudio de la proporción

Una proporción corresponde a hacer la media de n variables aleatorias de Bernoulli de parámetro p, donde n es el tamaño de la muestra y p, la probabilidad de éxito de cada acontecimiento individual.

Aplicaciones para proporciones

El propietario de una fábrica obtiene su materia prima de productos ya utilizados; hasta hace poco todo iba bien, pero a principios de este mes se ha reportado un 20% de la producción con serios defectos en la solidez del material y se reportan constantes quebraduras

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una

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