Teorema Del límite Central

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con

media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución

muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una

media igual a y una desviación estándar de . La aproximación será cada

vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

Ejemplo

Para la dsitribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:

a. El error muestral de cada media

b. La media de los errores muestrales

c. La desviación estándar de los errores muestrales.

Solución:

a. En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los

errores muestrales:

Muestra x Error muestral, e=x-

(0,0) 0 0 - 3 = -3

(0,2) 1 1 - 3 = -2

(0,4) 2 2 - 3 = -1

(0,6) 3 3 – 3 = 0(2,0) 1 1 – 3 = -2

(2,2) 2 2 – 3 = -1

(2,4) 3 3 – 3 = 0

(2,6) 4 4 – 3 = 1

(4,0) 2 2 – 3 = -1

(4,2) 3 3 – 3 = 0

(4,4) 4 4 – 3 = 1

(4,6) 5 5 – 3 = 2

(6,0) 3 3 – 3 = 0

(6,2) 4 4 – 3 = 1

(6,4) 5 5 – 3 = 2

(6,6) 6 6 – 3 = 3

b. La media de los errores muestrales es e, es:

c. La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales

e, es entonces:

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce

como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar

de la media denotado por x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de

una población se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error

estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los

errores muestrales.

En general se tiene:

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se

puede usar la formula siguiente para encontrar x .

donde es la desviación estándar de la población de donde se toman las

muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población.Como regla de cálculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la

población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra (N 20), entonces se

puede usar la fórmula.

El factor se denomina factor de corrección para una población finita.

Ejemplo:

Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de

tres maestros universitarios de matemáticas:

Maestro de matemáticas Antigüedad

A 6

B 4

C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin

reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la

distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución

muestral.

Solución:

Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras

posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.

Muestras Antigüedad Media Muestral

A,B (6,4) 5

A,C (6,2) 4

B,C (4,2) 3

La media poblacional es:

La media de la distribución muestral es:

La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de corrección tendríamos

que:

Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de

corrección obtendremos el valor correcto:

El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula

el valor del error estándar:

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma

de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es

simétrica.Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento

relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual

a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para

cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.

Sabemos que cuando

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