TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

Definición:

Sea la función de densidad de la distribución normal definida como:

fμ,σ^2 (x)= 1/√(2πσ^2 ) e^((x- μ)^2/(2σ^2 ))

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es, a la distribución se le conoce como normal estándar. Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

S_n=X_1 +⋯ + X_n

de manera que, la media de Sn es n•µ y la varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como:

Z_n=(Z_n -nμ)/(σ √n)

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

〖lim┬(n→∞) 〗⁡〖Pr(Z_n ≤z) =ᶲ(z) 〗

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado Formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:

Teorema del límite central: Sea X_1,X_2,+⋯ X_n un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2 distinta de cero. Sea:

S_n=X_1 +⋯ + X_n

Entonces:

lim┬(n→∞)⁡Pr ((S_n n-μ )/(σ√n) ≤z) = ᶲz

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral 〖 X ̅〗_n.

(X ̅_n-μ)/(σ/n),

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:

Teorema (del límite central): Sea X1, X2 +…+ Xn un conjunto de variables aleatoria, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria:

X ̅=1/n ∑_(i=1)^(n )▒Xi

tiene aproximadamente una distribución normal con μx= μ y σ^2 x= σ^2⁄n.

Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de XI, excepto la existencia de media y varianza.

PROPIEDADES

El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.

Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

EJEMPLO 1:

Calcular la probabilidad obtener 200 puntos al lanzar 70 dados. Sea la variable X ~ número depuntos obtenidos

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