Teorema Del Limite Central

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

Teorema de Limite Central

Definición:

El teorema central del límite es uno de los resultados fundamentales de la estadística. Este teorema nos dice que si una muestra es lo bastante grande (generalmente cuando el tamaño muestral (n) supera los 30), sea cual sea la distribución de la media muestral, seguirá aproximadamente una distribución normal. Es decir, dada cualquier variable aleatoria, si extraemos muestras de tamaño n (n>30) y calculamos los promedios muestrales, dichos promedios seguirán una distribución normal. Además, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación estándar de la media muestral será aproximadamente el error estándar.

La importancia del teorema central del límite radica en que mediante un conjunto de teoremas, se desvela las razones por las cuales, en muchos campos de aplicación, se encuentran en todo momento distribuciones normales o casi.

Es muy común encontrar esta fórmula con una variable estandarizada Zn en función a la media muestral como se muestra en la imagen...

Ahora tenemos la fórmula de la siguiente manera:

Esas son las fórmulas que manejan varios autores, pero nosotros usaremos 3 formulas diferentes para resolver el problema haciéndolo lo mas fácilmente posible. Estas son las fórmulas que usaremos:

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números se engloban varios teoremas que escriben el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Ley débil

La ley débil de los grandes números establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperadoμ y varianzaσ2, entonces el promedio

converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo ε se tiene

Ley fuerte

La ley fuerte de los grandes números establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen E(|Xi|) < ∞ y tienen el valor esperado μ, entonces

Es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a μ casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1).

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un evento se llama probabilidad condicional y se denota por que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define Como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad, definida como

Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, A B ={aaa} y

De donde

Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a trabajos técnicos, 40 de los cuales son graduados. Sí se toma al azar uno de estos empleados, cuál es la probabilidad de que:

a. Sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico?

b. No sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico?

Solución:

Sean los eventos:

: el empleado es graduado

: el empleado dedica parte de su tiempo a trabajos técnicos

De la información dada se puede elaborar parcialmente

...