DOCUMENTO 2: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Enviado por LeopoldoRivera • 30 de Agosto de 2014 • 1.702 Palabras (7 Páginas) • 246 Visitas
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DOCUMENTO 2: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Cuando deseamos resolver problemas de Estadística Descriptiva e Inferencial II para variables
continuas tenemos que contestar una pregunta importante: ¿la población a estudiar se distribuye
en forma normal o no?
En otros términos, ¿la forma de la curva de frecuencias sigue el “patrón” de la campana de
Gauss?
En la respuesta está parte de la solución. Si los datos se distribuyen en forma normal el tamaño
de muestra puede ser pequeño (n < 30) o grande (n ≥ 30) -empleándose en el primer caso una
distribución especial llamada t de Student para el cálculo de probabilidades-; pero si la
distribución no es normal o aproximadamente normal, ¿qué debemos hacer para resolver un
problema?
La respuesta a la pregunta la da el Teorema del Límite Central o Teorema Central del
Límite como también se le llama. Este teorema es tal vez el más importante de la Estadística
Inferencial y nos asegura simplemente que:
“La distribución de muestreo de la media se aproxima a la (distribución) normal al incrementarse
el tamaño de la muestra”1.
Los autores del libro citado al pie complementan la información con lo siguiente: “Los estadísticos
utilizan la distribución normal como una aproximación a la distribución de muestreo siempre que
el tamaño de muestra sea de al menos 30, pero la distribución de muestreo puede ser casi
normal con muestras de incluso la mitad de ese tamaño. La importancia del teorema del
límite central es que nos permite usar estadísticos de muestra para hacer inferencias
con respecto a los parámetros de población sin saber nada sobre la forma de la
distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de esa
muestra”2.
Por otra parte, en su libro “Introducción a la Estadística”3 los profesores Arnold Naiman, Robert
Rosenfeld y Gene Zirkel nos dan un enfoque más amplio de este teorema en la forma siguiente:
“En muchas circunstancias, la distribución de las medias de gran cantidad de muestras tomadas
de una población tiene, en teoría, tres características:
1. La forma es normal.
2. La media μm es igual a la media de la población original,
μm = μpop
3. La desviación estándar es más pequeña que la correspondiente a la población original. Lo
pequeña que sea depende del tamaño de la muestra.
n
pop
m
1 Levin, Richard I. y Rubin, David S. Estadística para Administradores. Editorial Pearson, 6ª. Edición, pp. 338.
2 Idem.
3 Naiman, Arnold, et all. Entendiendo Estadística. Editorial McGraw Hill, México 1988, pp.38.
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La exactitud con que se cumple el teorema en una aplicación particular depende principalmente
de dos factores:
1. El tamaño n de cada una de las muestras. En teoría, cuando más grande es una muestra
más cercana se encuentra la distribución de una distribución normal. Para muchas aplicaciones
una muestra cuyo tamaño es mayor que 30, llevará a una distribución de medias muy cercana a
la normal, de manera tal que los cálculos basados en valores correspondientes a una distribución
normal proporcionarán resultados favorables.
2. La “forma” de la distribución original. Si la distribución de la población es muy parecida a
la normal, entonces pueden utilizarse muestras de menor tamaño y esperar que las medias
muestrales tengan, en forma aproximada, una distribución normal. En muchas aplicaciones
estadísticas, las poblaciones son de tal naturaleza que se puede suponer que el teorema se
verifica.
Finalmente, en el texto “Estadística Descriptiva e Inferencial II”4, del matemático Víctor Sánchez
se establece el Teorema del Límite Central en los siguientes términos:
“Si se extraen todas las posibles muestras de igual tamaño(n) de una población dada que tiene
media μpop y desviación típica σpop, el Teorema del Límite Central indica que:
La distribución de las medias muestrales μm se distribuye aproximadamente en forma normal con
media μpop y su desviación estándar será más pequeña que la desviación estándar de la
población de acuerdo al valor σpop/ n , siempre y cuando el tamaño de muestra sea muy
grande.
Esta última aclaración es importante. Si se sospecha que la distribución de las muestras no es
normal, se toma a n muy grande (generalmente mayor que 30); pero si es normal, no importa el
tamaño de n. Entonces, concluyendo, el Teorema del Límite Central indica que:
a) La media de las muestras es igual a la media de la población
μm
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