El concepto de los límites de la secuencia de

 LIMITE DE UNA SUCESIÓN

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente. La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

LIMITE DE UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES

Definición formal: El termino general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

.Notación

o bien o también

o simplemente

Ejemplos: La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,... converge al límite 0.

La sucesión 1, -1, 1, -1, 1,... es oscilante.

La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16,... converge al límite 1.

Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.

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 Propiedades

Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.

Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.

Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

Si una sucesión tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.

Límite de una sucesión compleja

Véanse también: Sucesión de Cauchy y Serie convergente.

Se dice que la sucesión converge hacia un complejo si y solo si

Nótese que es la misma definición que para , con modulo en lugar del valor absoluto. Se puede escribir

o más simplemente, si no hay ambigüedad

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene modulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, es también completo).

Ejemplo: Sucesiones en ó

Sucesiones en

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