Ensayo Sistemas de ecuaciones lineales

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Instituto Tecnológico de San Luis Potosí

Ensayo Sistemas de ecuaciones lineales

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Sara Guadalupe Chávez Veloz Unidad 3

Alumnos:

• Martínez Maldonado Ana Lilian
• González Rodríguez Axel Alberto

A 24 de octubre del 2022

Introducción:

En las matemáticas y en algebra lineal específicamente vemos las ecuaciones lineales como un sistema lineal de ecuaciones, que trata sobre un conjunto de ecuaciones lineales de los cuales podemos ver que tienen diferentes tipos de solución que son los que tocaremos mas adelante pueden tener de tres tipos de solución, una solución única, infinitas soluciones y pueden no tener soluciones, y se pueden clasificar como sistemas homogéneos y heterogéneos, existen tres formas de sistemas de ecuaciones lineales: punto-pendiente, la forma estándar y forma pendiente al origen, este sistema de ecuaciones lineales nos sirven para resolver diversos problemas en la vida diaria y más específicamente en nuestro caso en la ingeniería, física, economía, etc. Las ecuaciones lineales nos establecen un método para obtener soluciones a los problemas que suceden con frecuencia donde pueden aparecer en la mayoría de los campos de estudio y poder representarlos durante modelos matemáticos. Un ejemplo de como podemos usar las ecuaciones lineales es hallando las corrientes eléctricas que circulas por los circuitos resistivos de corriente directa, mezclas de soluciones con distinta concentración y algunas clases de inversiones monetarias por mencionar algunos ejemplos. A continuación, abordaremos los temas sobre las ecuaciones lineales.

Desarrollo:

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

La clasificación de las ecuaciones lineales puede depender de su tipo de solución, así como puede tener una, puede tener infinitas o simplemente no hay una solución. Existen diferentes tipos de ecuaciones con dos incógnitas, ya que en cada ecuación lineal de dos variables puede estar representada por una recta en el plano y si son dos ecuaciones podemos obtener 2 rectas, que se cortan en un solo punto, en una infinidad de puntos y los que no coinciden en ningún punto.

Sistemas de ecuaciones lineales compatibles: Es aquel sistema que, si tiene alguna solución, puede ser infinita o de única solución y se divide en 2.

Sistema de ecuaciones compatibles determinados: Es aquel que tiene una solución única para cada una de sus incógnitas, es decir las 2 rectas que se cortan en un punto en el plano.

𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟔

{ 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟔

(𝒙, 𝒚) = (𝟐, 𝟑)

Sistema de ecuaciones compatibles indeterminados: Es aquel que tiene infinitas soluciones, su combinación lineal es de números indeterminados. En otras palabras, las[pic 5]

rectas tienen la misma gráfica, es decir cualquier punto de una recta será la misma que la otra y ahí el que sus soluciones sean infinitas

𝒙 + 𝒚 = 𝟏

{

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐

0 = 0

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Sistema de ecuaciones incompatibles: Es aquel sistema que no tiene solución. No se resuelve, esto puede ser por que no haya números que cumplan dos ecuaciones a la vez, el sistema no tiene una solución y por lo tanto ahí lo incompatible. Sus rectas son paralelas y no hay puntos en común

{ 𝒙 + 𝒚 = 𝟑

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐

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Clasificación de los sistemas de ecuaciones según su forma:

Los sistemas de ecuaciones lineales también se pueden clasificar según su forma

Sistema de ecuaciones homogéneo: Es cuando en un sistema todas las ecuaciones están igualadas a cero, es cuando no existe un término independiente

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎

Si es homogéneo {𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝟑 = 𝟎

No es homogéneo {𝒙 − 𝒚 − 𝒛 − 𝟏 = 𝟎

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎

Los sistemas de ecuaciones homogéneos siempre son compatibles, siempre tienen una solución, así como pueden ser determinado o indeterminados, pero son compatibles.

Sistema de ecuaciones escalonados: Es aquel que tiene una incógnita menos en cada ecuación un ejemplo de esto es:

𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑

{        𝒚 − 𝒛 = 𝟐

𝒛 = 𝟎

Al tener una incógnita menos en cada ecuación parece que en cada ecuación se baja un escalón, por eso se llaman así.

Tipos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales:

Solución única: En un sistema se encuentra cuando existe una combinación de valores para sus incógnitas que hace que todas las ecuaciones del sistema se cumplan al igual, Cuando son de solución única geométricamente corresponden a rectas y planos donde se intersectan en un punto en el plano cuyas coordenadas son la solución de dicho sistema, también son conocidos como sistemas consistentes y su matriz de coeficientes es no singular y su determinante debe ser diferente a cero.

Soluciones infinitas: Cuando un sistema de ecuaciones se dice que tiene soluciones infinitas es por que existe un numero infinito de combinaciones de valores para las incógnitas en las ecuaciones y hacen que se cumplan simultáneamente, en este caso una o más incógnitas pueden tomar cualquier valor que sea real y las demás incógnitas quedaran determinadas por expresiones matemáticas que dependen de sus variables arbitrarias. Los sistemas de ecuaciones infinitas son dependientes, su recta corresponde a planos unos sobre otro, por lo cual existe un numero infinito de intersecciones, no implica que cualquier combinación de valores es una solución y su matriz de coeficientes es singular y su determinante es cero.

Sin solución: En las ecuaciones donde no hay solución es por que no hay combinaciones para los valores para las incógnitas que haga que todas las ecuaciones se cumplan, geométricamente hablando corresponden a las rectas o planos paralelos por lo tanto no se cruzan, son conocidos como sistemas inconsistentes. Cuando un sistema de ecuación no tiene solución su matriz de coeficientes es singular y su determinante es cero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales a través del método Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan se trat de encontrar otro sistema de ecuaciones equivalentes, de manera que a través de una matriz ampliada en la forma (A\B) mediante operaciones con matrices elementales, se convierta a una matriz esclonada reducida, o que la parte izquierda de la matriz se transforme a una matriz identidad y así pueda ser resuelto directamente.

Algunas de sus operaciones elementales pueden ser: intercambiar filas, multiplicar una fila por un numero real diferente a cero y obtener una fila al sumarla a otra multiplicarla por un numero diferente a cero.

Ejemplo:

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟕

{ 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑

𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝒛 = 𝟎

Se construye una matriz ampliada añadiendo a la matriz de coeficientes de las incógnitas A la matriz vertical de los términos independientes B

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Se intercambian la primera fila y la segunda (Siempre que sea posible el primer elemento de la primera fila que sea el 1)

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Operamos para hacer 0 el ultimo elemento de la segunda columna

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Operamos para hacer 0 el último elemento de la segunda columna:

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Seguimos transformando hasta llegar a una matriz escalonada reducida, que es el método de Gauss-Jordan.

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Quedan las últimas transformaciones para hacer ceros en el segundo y tercer elemento de la primera fila para llegar a la matriz escalonada reducida que se busca:

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Con el método de Gauss-Jordan, se ha llegado a una matriz escalonada reducida, donde, a la izquierda está la matriz identidad. La matriz escalonada conseguida se corresponde con este sistema de ecuaciones lineales equivalente: Este sistema ofrece directamente las raíces del sistema que se buscan, x = -2, y = 1, z =3

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