Espacios Vectoriales

U N I D A D 4

Espacios Vectoriales.

4.1 Definición de espacio vectorial.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

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Espacios Vectoriales.

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.

El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn.

Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.

Este proceso lleva el nombre en honor a Jorgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Definimos el operador proyección con

donde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u.

Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman. En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos únicamente "módulo de v * cos (ángulo que forman)", lo que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).

El proceso de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

Los dos primeros pasos del proceso de Gram-Schmidt

Ejemplo

Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn (con el convencional producto interno)

Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su tamaño como hemos mostrado anteriormente:

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