ESPACIOS VECTORIALES.

INDICE

Definición de espacio vectorial…………………………………………………………..

Teoremas sobre espacios vectoriales…………………………………………………..

Demostración……………………………………………………………………………...

Definición de subespacio vectorial y sus propiedades………………………………

Subespacios y espacios generados……………………………………………………

Espacio Vectorial…………………………………………………………………………..

Propiedades……………………………………………………………………………….

Combinación lineal independencia lineal………………………………………………

Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base………………………

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades……………………….

Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt…………….

Glosario……………………………………………………………………………………

Bibliografía………………………………………………………………………………..

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial real  V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación escalar que satisfacen los diez axiomas que se enumeran a continuación:

Notación       Si x e y están en V y si α es un número real, entonces escribiremos         x + y para la suma de x e y y αx para el producto escalar de α y x.

1. Axioma de cerradura bajo la suma:                                                              La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.                                                                                                        Si x Є V e y Є V, entonces x + y Є V ( es decir, V es cerrado para la suma).

1. Axioma de la asociatividad de la suma:                                                        En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.                                                                                    Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) ( ley asociada de la suma).

1. Axioma de la existencia del elemento neutro:                                          Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.                                              Existe un vector 0ЄV tal que para todo xЄV, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro aditivo de x).

1. Axioma de la existencia de inversos aditivos:

Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.                                          Si x ЄV, existe un vector – x en V tal que x + (- x) = 0  (- x se conoce como el inverso aditivo de x)

1. Axioma de la conmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.                           Si x e y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa  de la suma de vectores).

1. Axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:

El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.         Si x Є V, entonces α x Є V ( se dice que V es cerrado para la multiplicación escalar).

1. Propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):

En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.                                                                                                     Si x e y están en V y si α es un escalar, entonces α(x +y)  = αx + αy             (primera ley distributiva).

1. Propiedad distributiva del producto por escalares sobre la  suma escalares:        Si x Є V  y si α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx (segunda ley distributiva).

1. Axioma de la asociativa de la multiplicación escalar:                                    Si x Є V y si α y β son escalares, entonces α(βx) = αβx ( ley asociativa de la multiplicación escalar).

1. Axioma de neutro multiplicativo:                                                                Para todo vector xЄV , 1x = x ( al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).

TEOREMAS SOBRE ESPACIOS VECTORIALES

 Sea V un espacio vectorial. Entonces:

1. α0 = 0 para todo número real α. (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero).

1. 0.x = 0 para todo xЄV (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero).

1. Si αx = 0, entonces α = 0 ó x = 0 (o ambos). Cuando el producto de un escalar por un vector, da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero.  

1. (- 1) x = - x para todo xЄV (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector).

DEMOSTRACIÓN

i. Por el axioma (iii), 0 + 0 = 0; y del axioma (viii)

α(0 + 0) = α0 + α0 = α0

Sumando – α0 a ambos lados de la última ecuación (1)  y usando la ley asociativa (axioma iii), obtenemos

[α0 + α0] + (- α0) = α0 + (- α0)

α0 + [α0 + (- α0)] = 0

α0 + 0= 0

α0 = 0

ii. Esencialmente tenemos el mismo argumento que el usado en la parte (i). Dado que  0 + 0 = 0, usando el axioma (viii) obtenemos que 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, es decir, 0x + ( - 0x) = 0x + [ 0x + (- 0x)], de donde 0 = 0x + 0 = 0x.

iii. Hagamos αx = 0. Si α ≠ 0, multiplicando ambos lados de la ecuación pro 1/α, obtenemos (1/α)(αx) = (1/α)0 = 0 (por(i)). Pero (1/α)(αx) = 1x = x ( por axioma ix); por lo tanto x = 0

iv. Dado que 1 + (-1) = 0, usando la parte (ii), obtenemos

0 = 0x = [1 + (-1)] x = 1x + (-1) x = x + (-1)x

Sumando (-x) en ambos lados de (2), llegamos a que

 0 + ( -x) = x + ( -1)x + (-x) = x + ( -x) + (-1)x

= 0 + (-1)x = (-1)x

Por lo tanto, - x = (-1)x. Notaremos que en la ecuación anterior pudimos cambiar el orden de la suma usando la ley conmutativa ( axioma v).

Nota. La parte (iii) del Teorema 1 no es tan obvia como parece. Existe ciertos objetos que satisfacen que xy = 0 y si embargo ni x ni y son cero. Como un ejemplo, tomemos la multiplicación de las matrices 2 x 2. Si A = [pic 1][pic 2] y                    B = [pic 3][pic 4] , entonces ni A ni B son cero y como puede verificarse fácilmente    AB = 0, la matriz cero.

Para definir un espacio vectorial lineal abstracto, necesitamos:

• Un conjunto de cosas llamadas "vectores" (X)
• Un conjunto de cosas llamadas "escalares" (A)
• Un operador de adición de vectores (+)
• Un operador de multiplicación escalar (*)

Si los escalares α son reales, S es llamado un espacio vectorial real.

Si los escalares α son complejos, S es llamado un espacio vectorial complejo.

Si los “vectores" en S son funciones o variables continuas, muchas veces S es llamado un espacio lineal de funciones.

SUBESPACIOS  Y ESPACIO GENERADO

Si A es una matriz m x n, entonces el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones AX=0 es un espacio vectorial. Además, el espacio solución es un subconjunto del espacio vectorial, Mny de todas la matrices N X 1 con las mismas operaciones vectoriales que el espacio Mny A un conjunto que tenga estas propiedades se le llama subespacio de un espacio vectorial dado.

...