Espacios Vectoriales

Introducción

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ2 y de ℜ3.

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.

Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ2 y de ℜ3:

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u, v, w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

4.1 Definición de espacio vectorial

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las siguientes propiedades, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

-Propiedades de los vectores:

 Propiedades de la suma de vectores.

• Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)

• Conmutativa: v + u = u + v.

• Existe un elemento neutro, el vector Ō, tal que Ō + v = v para cualquier vector v.

• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da Ō.

 Propiedades del producto de un vector por un escalar.

• Asociativa: β (αv) = (β α) v

• Distributivas:

>Respecto de la suma de escalares: (α + β) v = α v + β v

>Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1• v = v para cualquier vector v.

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

• Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si α v = Ō (escalar, v vector) entonces o bien es α = 0 o bien es v = Ō.

Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El espacio ℜ, formado por los vectores de n componentes (x1,. . ., xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . ., 0).

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos

(Si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜ).

2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

P2 = {ax2+ bx + c: a, b, c ∈ ℜ}

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

-Suma: (ax2+ bx + c) + (a’x2+ b’x + c’) = (a + a’) x2 • + (b + b’) x + (c + c’) que pertenece a P2.

-Producto por un escalar real: λ∈ℜ, λ (ax2 + bx + c) = λax2 • + λbx + λc que pertenece a P2.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector Ō es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:

a c

M2x2= : a, b, c, d ∈ R

b d

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector Ō es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.

No es un espacio vectorial complejo.

Observación.

En algunos espacios vectoriales reales, distintos de ℜ”, puede hacerse un “paralelismo” o “identificación” con ℜ”, para un n adecuado.

Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real “C” de los números complejos puede identificarse con ℜ2, correspondiendo el número complejo a + bi al vector (a, b).

Veamos cómo el espacio P2 = {polinomios de grado ≤ 2} puede identificarse con ℜ3: cada polinomio ax2+bx+c correspondería al vector (a, b, c) de ℜ3

Lo mismo ocurre con el espacio de matrices M2x2 = {matrices 2x2, que se identifica con ℜ4, correspondiendo a la matriz el vector (a, b, c, d).

En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar paralelamente del espacio considerado a ℜ”.

Esto hace posible efectuar las operaciones en ℜ” en lugar de otros espacios.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Definición: Subespacio.

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector Ō, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.) Es decir:

• Ō ∈ S.

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λ v ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V). Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

Ejemplos de subespacios

1) La recta x=y es un subespacio de ℜ2. Está formado por los vectores de la forma (a, a).Contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (a, a) + (b, b) = (a + b, a + b) que también es un elemento de la recta.

• Producto por un escalar: λ∈ℜ, λ(a, a) = (λ a, λ a) que también es un elemento de la recta

2) El plano XY es un subespacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x, y, 0). Contiene al vector (0, 0, 0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (x, y, 0) + (x’, y’, 0) = (x + x’, y + y’, 0) que también es un elemento del plano.

• Producto por un escalar: λ∈ℜ, λ(x, y, 0) = (λ x, λ y, 0) que también es un elemento del plano.

Podemos decir que este plano “es como ℜ2” pero incluido en ℜ3.

 Subespacios ℜn

Los subespacios de ℜn pueden describirse de dos formas: implícita y paramétrica.

• Forma implícita: Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.

• Forma paramétrica: Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.

Para pasar de una a otra forma:

• De la forma implícita a la paramétrica: Basta considerar las ecuaciones implícitas como un sistema, y resolverlo. La solución general del sistema (que podrá depender de parámetros) es la expresión paramétrica.

• De la forma paramétrica a la implícita: Podemos decir, aunque no es un método riguroso, que se trata de “describir” mediante ecuaciones cómo es el vector genérico del subespacio.

Ayudará el conocer qué número de ecuaciones es necesario (lo que se verá más adelante).

Ejemplos:

1) En ℜ2, la recta bisectriz del primer cuadrante puede describirse en implícitas como {y=x}, y en paramétricas como {(λ, λ): λ∈ℜ}

2) En ℜ3, dado el subespacio en paramétricas {(α, β, α–β): α, β ∈ℜ}, su forma implícita es la ecuación {z=x–y}.

 Relación entre la forma implícita y paramétrica.

Si S es un subespacio de ℜn, la forma implícita y paramétrica de S satisfacen en general la siguiente relación:

Nº de ecuaciones implícitas + Nº de parámetros = n.

(n es el nº de incógnitas).

Comprobar esta relación en los ejemplos anteriores.

Sin embargo para que esto sea cierto debe cumplirse que las ecuaciones implícitas sean independientes entre sí, es decir, que ninguna sea combinación lineal de otras. Esto significa que, considerando las ecuaciones como un sistema, no “sobre” ninguna ecuación: es decir, que la matriz de coeficientes tenga rango igual al número de ecuaciones.

También los parámetros deben ser independientes entre sí por ejemplo en la expresión paramétrica (α+β, α+β, 0), que en ℜ3 corresponde a la forma implícita {x=y, z=0}, no se cumple

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