Espacios Vectoriales

Espacios vectoriales.

Definici´on de espacios vectoriales. Un espacio vectorial, V, sobre un campo K cuyos elementos se denominan escalares, es un conjunto V , cuyos elementos se denominan vectores, con dos operaciones, una que se llama adici´on vectorial, +, y otra que se llama multiplicaci´on por escalar, denotada simplemente por yustaposici´on, tal que se satisfacen las siguientes propiedades, conocidas como axiomas:

1. El conjunto V junto con la operación de adici´on vectorial, +

+ : V × V → V ~v1 +~v2 = ~v3,

constituye un grupo conmutativo o abeliano.

2. Clausura respecto a la multiplicaci´on por escalar. Para cada pareja de elementos k ∈ K y

~v1 ∈ V existe un ´unico elemento ~v2 ∈ V tal que

: K× V → V k~v1 = ~v2.

3. La multiplicaci´on por escalar es distributiva respecto a la adici´on vectorial.

k(~v1 +~v2) = k~v1 + k~v2 ∀k ∈ K, y ∀~v1, ~v2 ∈ V.

4. La multiplicaci´on escalar es distributiva respecto a la adici´on de escalares.

(k1 + k2)~v = k1~v + k2~v ∀ k1, k2 ∈ K, y ∀~v ∈ V.

5. La multiplicaci´on escalar es pseudoasociativa.

(k1 ・ k2)~v = k1(k2~v) ∀ k1, k2 ∈ K y ~v ∈ V.

6. Propiedad del id´entico multiplicativo del campo. Si 1 ∈ K es el id´entico multiplicativo, se tiene que

1~v = ~v ∀~v ∈ V.

Es importante se˜nalar que los teoremas que se indicaron para grupos son aplicables por igual para el grupo aditivo contenidos en un espacio vectorial. Adem´as, los campos mas usuales son el campo de los n´umeros reales, R, y el campo de los n´umeros complejos, C, si un espacio vectorial est´a definido sobre el campo de los n´umeros reales, R, el espacio vectorial se denomina real, de manera semejante, si un espacio vectorial est´a definido sobre el campo de los n´umeros complejos, C, el espacio vectorial se denomina complejo.

Ejemplos de espacios vectoriales. Existen muchos ejemplos de espacios vectoriales:

1. El conjunto de eneadas ordenadas de n´umeros reales, Rn definido como

Rn = {~x = (x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . xn ∈ R} ,

donde dos vectores ~a = (a1, a2, . . . , an),~b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn son iguales si, y s´olo si,

ai = bi ∀ i = 1, 2, ・ ・ ・ , n.

junto con la operaci´on adici´on vectorial, definida como,

~a +~b = (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) ∀~a,~b ∈ Rn,

y con la multiplicaci´on escalar real, definida como,

λ~a = λ(a1, a2, . . . , an) = (λ ・ a1, λ ・ a2, . . . , λ ・ an) ∀λ ∈ R y ∀~a ∈ Rn,

forman un espacio vectorial real, denominado Rn.

2. El conjunto de eneadas ordenadas de n´umeros complejos, Cn definido como

Cn = {~z = (z1, z2, . . . , zn) | z1, z2, . . . , zn ∈ C} ,

donde dos vectores ~y = (y1, y2, . . . , yn), ~z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ Cn son iguales si, y s´olo si,1

yi = zi ∀i = 1, 2, . . . , n.

junto con la operaci´on adici´on vectorial, definida como,

~y + ~z = (y1, y2, . . . , yn) + (z1, z2, . . . , zn) = (y1 + z1, y2 + z2, . . . , yn + zn) ∀~y, ~z ∈ Cn,

y junto con la multiplicaci´on escalar, donde el escalar es un n´umero complejo, definida como,

λ~z = λ(z1, z2, . . . , zn) = (λ ・ z1, λ ・ z2, . . . , λ ・ zn) ∀ λ ∈ C ∀ ~z ∈ Cn,

forman un espacio vectorial complejo, denominado Cn.

3. El conjunto de polinomios de coeficientes reales, en la variable x, de grado menor o igual a n, denotado como Pn(x) , y definido como

Pn(x) = ©p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ・ ・ ・ + anxn | a0, a1, a2, . . . , an ∈ Rª ,

donde dos polinomios, p(x) = a0 + a1x + ・ ・ ・ + anxn, q(x) = b0 + b1x + ・ ・ ・ + bnxn ∈ Pn(x) son

iguales si, y s´olo si,

ai = bi i = 0, 1, 2, . . . , n.

junto con la operaci´on de suma de polinomios, definida como,

p(x) + q(x) = (a0 + a1x + a2x2 + ・ ・ ・ + anxn) + (b0 + b1x + b2 x2 + ・ ・ ・ + bnxn)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ・ ・ ・ + (an + bn)xn ∀ p(x), q(x) ∈ Pn(x).

y la multiplicaci´on escalar real por un polinomio, definida como

λp(x) = λ(a0+a1x+a2x2+・ ・ ・+anxn) = (λa0)+(λa1)x+(λa2)x2+・ ・ ・+(λan)xn ∀λ ∈ R y ∀ p(x) ∈ Pn(x).

forman un espacio vectorial, denominado Pn(x).

4. El conjunto de matrices Mm×n que consta de m filas y n columnas de n´umeros reales y definido como

Mm×n =





m11 m12 m13 ・ ・ ・ m1n

m21 m22 m23 ・ ・ ・ m2n

・ ・ ・ ・ ・

mm1 mm2 mm3 ・ ・ ・ mmn



¯¯¯¯¯

mij ∈ R

∀i = 1, 2, . . . ,m

∀j = 1, 2, . . . , n



donde dos matrices M,N ∈ Mm×n dadas por

M =



m11 m12 m13 ・ ・ ・ m1n

m21 m22 m23 ・ ・ ・ m2n

・ ・ ・ ・ ・

mm1 mm2 mm3 ・ ・ ・ mmn



y N =



n11 n12 n13 ・ ・ ・ n1n

n21 n22 n23 ・ ・ ・ n2n

・ ・ ・ ・ ・

nm1 nm2 nm3 ・ ・ ・ nmn



son iguales, denotado M = N, si, y s´olo si,

mij = nij ∀i = 1, 2, . . . ,m y ∀ j = 1, 2, . . . , n

junto con la operaci´on de suma matricial, definida como

M + N =



m11 m12 m13 ・ ・ ・ m1n

m21 m22 m23 ・ ・ ・ m2n

・ ・ ・ ・ ・

mm1 mm2 mm3 ・ ・ ・ mmn



+



n11 n12 n13 ・ ・ ・ n1n

n21 n22 n23 ・ ・ ・ n2n

・ ・ ・ ・ ・

nm1 nm2 nm3 ・ ・ ・ nmn



=



m11 + n11 m12 + n12 m13 + n13 ・ ・ ・ m1n + n1n

m21 + n21 m22 + n22 m23 + n23 ・ ・ ・ m2n + n2n

・ ・ ・ ・ ・

mm1 + nm1 mm2 + nm2 mm3 + nm3 ・ ・ ・ mmn + nmn



∀M,N ∈ Mm×n

y la operaci´on de multiplicaci´on por escalar real, definida como

λM = λ



m11 m12 m13 ・ ・ ・ m1n

m21 m22 m23 ・ ・ ・ m2n

・ ・ ・ ・ ・

mm1 mm2 mm3 ・ ・ ・ mmn



=



λm11 λm12 λm13 ・ ・ ・ λm1n

λm21 λm22 λm23 ・ ・ ・ λm2n

・ ・ ・ ・ ・

λmm1 λmm2 λmm3 ・ ・ ・ λmmn



∀λ ∈ R ∀M ∈ Mm×n

forman un espacio vectorial real, denominado Mm×n.

5. El conjunto de funciones reales de variable real, definidas sobre un intervalo arbitrario, por ejemplo F(−∞,+∞), donde (−∞,+∞) se conoce como el rango de definici´on de las funciones2 definido como

F(−∞,+∞) = {f(x) | f(x) ∈ R ∀ x ∈ (−∞,+∞)} ,

2Otras posibles variaciones son F(a, b), F[a, b) o F[a, b], donde a, b 2 R y b > a.

donde dos funciones f, g ∈ F(−∞,+∞) son iguales si, y s´olo si

f(x) = g(x) ∀x ∈ (−∞,+∞)

junto con las operaciones de adici´on de funciones, definida como

+ : F(−∞,+∞)×F(−∞,+∞) → F(−∞,+∞) f+g = (f+g) ∈ F(−∞,+∞) ∀ f, g ∈ F(−∞,+∞),

donde

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ (−∞,+∞)

y multiplicaci´on escalar real de funciones, definida como

: R × F(−∞,+∞) → F(−∞,+∞) λ f = (λf) ∈ F(−∞,+∞) ∀ λ ∈ R∀ f ∈ F(−∞,+∞).

donde

(λ f)(x) = λ ・ f(x) ∀ x ∈ (−∞,+∞)

forman un espacio vectorial real de funciones, denominado F(−∞,+∞). Existen muchas posibles variantes de un espacio vectorial de funciones reales de variable real. Algunas de estas variantes aparecen, como ya se indic´o, cambiando el intervalo de definici´on de la funci´on, otras variantes aparecen cuando se introducen condiciones mas restrictivas, por ejemplo, si se requiere que las funciones sean continuas, diferenciables hasta la en´esima derivada o continuamente diferenciables, etc.

Propiedades de espacios vectoriales.

Considere un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. El producto del escalar 0 ∈ K por cualquier vector ~v ∈ V es el id´entico aditivo del espacio vectorial,

es decir, ~0 ∈ V.

2. El producto de cualquier escalar λ ∈ K por el vector cero ~0 ∈ V es el vector ~0 ∈ V.

3. Si λ~v = ~0, entonces o λ = 0 o ~v = ~0.

Prueba: Para la primera parte del teorema, considere la siguiente ecuaci´on en el campo escalar

λ + 0 = λ donde λ ∈ K

Por lo tanto

λ~v + 0 ~v = (λ + 0) ~v = λ~v

Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si

g + g0 = g, → g0 = 0

igualando g con λ~v, se tiene que 0 ~v = ~0.

Para la segunda parte del teorema, considere la siguiente ecuaci´on en el espacio vectorial

~v +~0 = ~v donde ~v ∈ V

Por lo tanto

λ~v + λ~0 = λ (~v +~0) = λ~v

Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si

g + g0 = g, → g0 = 0

4

comparando g con λ~v, se tiene que λ~0 = ~0

Para la parte final del resultado, note que si λ = 0, entonces

λ~v = 0 ~v = ~0.

Suponga ahora que λ 6= 0, entonces λ tiene un inverso multiplicativo en el campo K, denotado por

λ−1, tal que λ−1 λ = λ λ−1 = 1. Considere ahora

λ~0

...