ESPACIOS VECTORIALES.

ESPACIO VECTORIAL

Definición de Espacio Vectorial:

La cuaterna (V; + ; R ; · ) , donde:

V es un conjunto no vacío llamado conjunto de vectores,

R es el conjunto de números reales, llamados también escalares,

+: suma de vectores, llamada operación interna,

.: producto de un vector por un escalar, llamada operación externa,

es un Espacio Vectorial si se verifican los diez axiomas enunciados a continuación para  la suma vectorial y el producto de un vector por un escalar

1. Ley interna:

                            [pic 1]

1. La suma es asociativa:

[pic 2]

1. La suma es conmutativa:

                             [pic 3]

1. Existencia del vector nulo:[pic 4](neutro)

                             [pic 5]= [pic 6]

1. Para cada [pic 7]de [pic 8]existe un vector [pic 9] llamado elemento opuesto o simétrico:

                            [pic 10]

⇒ el par (V;+) es Grupo Abeliano

1. Ley externa:

                          [pic 11]

1. Distributividad del producto respecto a la suma de vectores:

[pic 12]

1. Distributividad del producto respecto a la suma de escalares:

[pic 13]

1. Asociatividad

                            [pic 14]

1. Elemento neutro para el producto:

                           [pic 15]

Observación: Cualquier conjunto V no vacío, que cumple con

los diez axiomas enunciados, se denomina Espacio vectorial y sus elementos se llaman vectores.

Las matrices y los polinomios cumplen con estas propiedades, por lo tanto tienen estructura de Espacio vectorial.

Ejemplos de Espacio Vectorial:

(R2 ; +; R; . ) , (R3 ; +; R; . ) , (R4 ; +; R; . ) , (M3  ; +; R; . ) , (P2  ; +; R; . )

Sugerencia: Consulta el texto Álgebra Lineal de Stanley Grossman (sexta edición) Capítulo 4, para profundizar y ver más ejemplos.

Propiedades: Sea el Espacio Vectorial (V; +; R; . )

1.  k R,   V: k.  = [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
2.   V, 0  R : 0. =  (vector nulo)[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
3.  k R,  V: (- k). = - (k. )[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Subespacios de Espacios Vectoriales

Un subconjunto S de un Espacio Vectorial V es un subespacio si es un Espacio Vectorial con las mismas operaciones definidas en V.

Definición: Un subconjunto no vacío S de un Espacio Vectorial se denomina subespacio de V si S es un Espacio vectorial con las mismas operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

El siguiente Teorema facilita la demostración de que un conjunto S es subespacio de un determinado espacio vectorial V

Teorema:

Sea (V; +; R; . ) un espacio vectorial , el conjunto S es subespacio de V, si y solo si, se verifican:

1. S es no vacío
2. S está incluido en V
3.   S :   S[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]
4. k  R,  S: k. S[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Observaciones:

1. Todo subespacio de un espacio vectorial contiene al vector nulo.
2. Si S no contiene al vector nulo, S no es un espacio vectorial.

 Esta última observación es útil para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial V no es subespacio de V.

Ejemplos de subespacios:

Subespacios triviales: Considerando el espacio vectorial (V, +, R, . ), podemos apreciar que existen dos subespacios llamados triviales porque no es necesario demostrar este hecho, ellos son:

• S= V, V es subespacio de si mismo

• S= { }, que es el conjunto cuyo único elemento es el vector nulo.[pic 40]

Otros subespacios :

• S= { (x,y)  R2 / y= 2x } es subespacio de ( R2 , +, R, . )[pic 41]

• S= { A  M2 / A es una matriz simétrica} es subespacio de ( M2 , +, R, .)[pic 42]

Actividad 1: Probar que los dos últimos conjuntos S son subespacio del espacio vectorial respectivo.

Combinación lineal de vectores

Recordemos que un vector de R3 se puede escribir así: = a+b + c[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

Podemos decir entonces que el vector  es combinación lineal de los vectores  ,   y  .[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

En forma genérica:

        Si  A=[pic 51]es un conjunto de vectores del espacio vectorial

(V;+;R;⋅) y α1; α2; α3;…;αn son números reales, entonces cualquier vector de la forma:

[pic 52] 

se denomina combinación lineal de dicho conjunto de vectores.

La combinación lineal [pic 53] 

se puede expresar así: [pic 54]

Gráficamente:[pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

Ejemplos:

• En R2, el vector: (-3,11) es combinación lineal de los vectores:

(2,1); (-1,3) y (2,0)

Lo comprobamos: (-3,11) = 2. (2,1) + 3. (-1,3) + (-2). (2,0)

• En M2x3; la matriz [pic 61] es combinación lineal de

 [pic 62]  y  [pic 63]

. Lo comprobamos:  [pic 64] = [pic 65]+[pic 66]

• Podemos decir que el polinomio P(x) = 5x2 + 3x -4 es combinación lineal de los monomios x2 , x y x0
• ¿El vector [pic 67]= ( 1 , - 2 , - 5 ) es combinación lineal de

 [pic 68]= (1, 1,1) y [pic 69]= (1, 2,3)?

Solución: para que [pic 70]sea combinación lineal de [pic 71] y [pic 72] deben existir escalares

α1 y α2 / α1[pic 73]+α2[pic 74]= [pic 75]⇒ α1 (1, 1,1) + α2 (1, 2,3) = (1, - 2,- 5)        ⇒

                                   (α1, α1, α1) + (α2, 2α2, 3α2) = (1, - 2, - 5)

Sumando ternas:

(α1+α2, α1+2α2, α1+3α2) = (1, - 2,- 5)

Igualando las ternas, obtenemos un Sistema de ecuaciones lineales:

[pic 76]

[pic 77]

α1 + 3α2 = - 5         ⇒ α1= -5  - 3α2

        ⇒ α1 = - 5  - 3.(-3) ⇒ α1 = 4

 [pic 78][pic 79]

                    (1, - 2,- 5) = 4 (1, 1,1) + ( - 3) (1, 2,3)

Luego [pic 80] puede expresarse como combinación lineal de [pic 81] y [pic 82]

Como vemos, el Sistema de ecuaciones lineales resultó ser compatible determinado, por lo que la combinación lineal es única.

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