Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío con una operación interna (llamada suma) y una operación externa (llamada producto por un escalar) definido entre dicho conjunto y un cuerpo matemático.

Un espacio euclidiano es el conjunto de coordenadas también conocidas por espacio dimensional y denotado por Rn, este es una sucesión de números reales.

R1: Espacios unidimensional, R2: Bidimensional, R3: Tridimensional,…, Rn

Suma y Multiplicación

Siendo X y Y vectores y H un escalar:

(x+y)=(x1;x2) + (y1+y2)=(y1;y2) + (x1;x2) y la multiplicación por un escalar se define H(X_1,X_2 )=H(〖HX〗_1,〖HX〗_2).

Ley de composición interna:

u×u□(→┴+ ) u

(u,v)→u+v

Ley de composición externa:

Κ×u□(→┴× ) u

(λ,u)→λ×u

El conjunto U tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo V si y solo si se verifican las siguientes propiedades:

Tenga propiedad conmutativa respecto a la suma, es decir:

u+v=v+u,∀u,v∈V

Tenga propiedad asociativa respecto a la suma, es decir:

u+(v+w)=(u+v)+w,∀u,v,w∈V

Tenga elemento neutro 0 respecto a la suma, es decir:

∃0 ∈V:u+0=u,∀u ∈V

Tenga elemento opuesto respecto a la suma, es decir:

∀u∈V,∃-u∈V:u+(-u)=0

Tenga propiedad asociativa respecto a la multiplicación, es decir:

a×(b×c)=(a×b)×c,∀a,b,c∈V

Tenga elemento neutro 1 respecto al producto, es decir:

∃1∈V:1×u=u,∀u∈V

Tenga la propiedad asociativa respecto al producto, es decir:

a×(u+v)=a×u+a×v,∀u,v∈V

u×(b+c)=a×b+a×c,∀u∈V

Subespacio Vectorial: Para que se cumpla la relación de subespacio (A) de (B) se dice que A debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la multiplicación por un escalar, el inversa bajo la suma.

Observaciones

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto V es un espacio vectorial:

Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo *(V,V) y #(v,k) admiten una redefinición del tipo +(V,V)=*(V,V) y ×(K,V)=#(V,K) cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

Si supiésemos que V es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de V tendríamos probados los apartados 5 y 6.

Si no se dice lo contrario:

a×v≠v×a.

Recordar:

Que un espacio vectorial es un espacio no vacío, se podría decir que es la abstracción de las propiedades de un espacio dimensional, tomar en cuenta también que en el espacio vectorial no se especifican operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Se sabe que cumple con 4 partes: Un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y dos operaciones; estas forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de 2 operaciones <conjunto, operación, operación>.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL:

Teniendo L un espacio vectorial sobre un cuerpo de coeficiente K y sean a_1,a_2,…,a_m algunos de los vectores que forman este espacio.

A la siguiente relación:

∑_(i=1)^m▒〖k_i×a_i 〗=k_1×a_1+k_2×a_2+k_3×a_3+⋯+k_m×a_m=0

Se le denomina relación de dependencia lineal, entre los vectores a_1,a_2,…,a_m. En caso todos los coeficientes sean igual a cero, la relación será trivial,

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