Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de R2 y de R3.

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.

Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de R2 y de R3:

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u, v, w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.

• Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)

• Conmutativa: v + u = u + v.

• Existe un elemento neutro, el vector 0, tal que 0 + v = v para cualquier vector v.

• Para cada vector v existe un elemento opuesto, -v, que sumado con él da 0.

Propiedades del producto de un vector por un escalar.-

• Asociativa: β (α v) = (β α) v

• Distributivas:

 Respecto de la suma de escalares: (α + β) v = α v + β v

 Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1• v = v para cualquier vector v.

Definición: Espacio Vectorial.-

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si α v = 0 (α escalar, v vector) entonces o bien es α = 0 o bien es v = 0.

Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El espacio R, formado por los vectores de n componentes (x1, ...,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,...,0).

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de 91").

2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

P2 = {ax2 + bx + c: a, b, c ϵ R}

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

 Suma: (ax2 + bx + c) + ( a’x2 + b’x + c’) = (a + a’) x2 + (b + b’) x + (c + c’) que pertenece a P2.

 Producto por un escalar real: λ ϵ R, λ (ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios

p = x3+x2+x+1, q = –x3+x2+x+1

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p + q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

4) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.

No es un espacio vectorial complejo.

5) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.

También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.

(Compruébese con elementos genéricos).

6) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros.

Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:

Sin embargo ME no es un espacio vectorial real, pues al multiplicar un elemento de ME por un escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentro de ME. Si el escalar es p.ej. el número real 1.25, el resultado ya no es una matriz con términos enteros.

Por similar razón tampoco es un espacio vectorial complejo.

7) El conjunto C de los números complejos se puede considerar como un espacio vectorial real. En efecto, se pueden sumar dos números complejos obteniéndose otro número complejo; y se puede multiplicar un complejo por un escalar real, obteniéndose otro complejo. Es decir,

 Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i, que es otro número complejo.

 Producto por un escalar real: Xe 91, λ (a + bi) = λ a + λ bi que es otro número complejo.

La suma y el producto por un escalar cumplen todas las propiedades requeridas. En este caso el vector 0 es el número complejo cero, 0+0i.

Nótese que aquí los complejos funcionan como vectores (elementos del espacio vectorial C) y los reales como escalares.

Observar además que, en este contexto, el conjunto de los números complejos se comporta igual que el espacio vectorial R2, identificando el número complejo a + bi con el vector (a, b).

Este es el motivo por el cual se suele representar el plano complejo como si fuera R2, con la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas.

8) El conjunto de las funciones continuas definidas en R: Se pueden sumar dos funciones, y se puede multiplicar una función por un escalar real.

Por ejemplo, las funciones f(x)=x2 y g(x)=log(x) pueden sumarse y resulta otra función h(x)=x2+log(x). La función g(x)=log(x) puede multiplicarse por el escalar λ y resulta la función k(x)= λ log(x).

Si sumamos dos funciones continuas, el resultado es otra función continua. Si multiplicamos una función continua por un escalar, el resultado es otra función continua.

Las operaciones cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es la función constante 0. Por tanto se trata de un espacio vectorial real.

 Hay muchos otros espacios vectoriales. Gracias a esto, las propiedades que encontremos para espacios vectoriales en general, las podemos aplicar a matrices, polinomios, funciones...

Observación.

En algunos espacios vectoriales reales, distintos de R, puede hacerse un “paralelismo” o “identificación” con R, para una n adecuada.

Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real C de los números complejos puede identificarse con R2, correspondiendo el número complejo a + bi al vector (a, b)

Veamos cómo el espacio P2 = {polinomios de grado ≤ 2} puede identificarse con R3: cada polinomio ax2+bx+c correspondería al vector (a, b, c) de R3.

Lo mismo ocurre con el espacio de matrices M2x2 = {matrices 2x2}, que se identifica con R4,

correspondiendo a la matriz el vector (a, b, c, d).

En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar paralelamente del espacio considerado a Rn.

Esto hace posible efectuar las operaciones en Rn en lugar de otros espacios.

SUBESPACIOS VECTORIALES

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Definición: Subespacio.-

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector 0, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

 0 ϵ S.

 Si v, w ϵ S entonces v + w ϵ S.

 Si v ϵ S y λ es un escalar, entonces λ v ϵ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

Ejemplos de subespacios.-

1) La recta x=y es un subespacio de R2. Está formado por los vectores de la forma (a, a). Contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

 Suma: (a, a) + (b, b) = (a + b, a + b) que también es un elemento de la recta.

 Producto por un escalar: λ ϵ R, λ (a,a) = (λ a, λ a) que también es un elemento de la recta.

2) El plano XY es un subespacio de R3. Está formado por los vectores de la forma (x, y, 0). Contiene al vector (0, 0, 0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

 Suma: (x, y, 0) + (x’, y’, 0) = (x + x’, y + y’, 0) que también es un elemento del plano.

 Producto por un escalar: λ ϵ R, λ (x, y, 0) = (λ x, λ y, 0) que también es un elemento del plano.

Podemos decir que este plano “es como R2” pero incluido en R3.

3) ¿Es un subespacio de R2 el conjunto de los vectores de la forma (a, 1)?. No, puesto que no contiene al (0,0).

O también: porque no se puede sumar dentro de este conjunto, por ejemplo (a,1)+(b, 1)=(a + b, 2) que no pertenece al conjunto.

4) En el espacio P2 = {polinomios de grado ≤ 2}, el conjunto de los polinomios de grado ≤1 forma un subespacio. En efecto, contiene al polinomio cero, y podemos sumar y multiplicar por un escalar sin salir del conjunto:

 Suma: (ax + b) + (a’x + b’) = (a + a’) x + (b + b’) que también es un polinomio de grado ≤1.

 Producto por escalar: λ e W, λ (ax + b)= λ ax + λ b que también es un polinomio de grado ≤1.

5) En M2 = {matrices 2x2}, el conjunto de las matrices simétricas es un

subespacio. Contiene a la matriz nula, y es cerrado para las operaciones:

 Suma: que también es una matriz simétrica.

 Producto por escalar: λ ϵ R, λ que también es una matriz simétrica.

6) Geométricamente, los subespacios vectoriales de 9i2 y 9i3son rectas, planos, y sólo uno de ellos es un punto, el {0}.

Las curvas o las superficies curvas no son subespacios; tampoco las figuras geométricas finitas, como círculos o polígonos en el plano, esferas o poliedros en el espacio.

(Comprobar gráficamente que no pueden sumarse vectores dentro de este tipo de conjuntos)

7) En todo espacio vectorial existen el subespacio cero, formado solamente por el vector {0}, y el subespacio total, formado por todos los vectores del espacio.

Descripción de los subespacios de Rn.-

Los subespacios de ℜ n pueden describirse de dos formas: implícita y paramétrica.

 Forma implícita: Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.

 Forma paramétrica: Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.

Para pasar de una a otra forma:

 De la forma implícita a la paramétrica: Basta considerar las ecuaciones implícitas como un sistema, y resolverlo. La solución general del sistema (que podrá depender de parámetros) es la expresión paramétrica.

 De la forma paramétrica a la implícita: Podemos decir, aunque no es un método riguroso, que se trata de “describir” mediante ecuaciones cómo es el vector genérico del subespacio.

Ayudará el conocer qué número de ecuaciones es necesario (lo que se verá más adelante).

Ejemplos:

1) En R2, la recta bisectriz del primer cuadrante puede describirse en implícitas como

{y=x}, y en paramétricas como {(λ, λ): λ ϵ W}

2) En 9i3, dado el subespacio en paramétricas {(α, β, α – β): α, β ϵ R}, su forma implícita es la ecuación {z = x - y}.

3) En R3, dado el subespacio en paramétricas {(λ, λ, 3λ): λ ϵ R} para describirlo en forma

implícita necesitamos dos ecuaciones:

4) Consideremos el subespacio de 91 dado en implícitas por

¿Cuál es su forma paramétrica? Para ello resolvemos el sistema, que es compatible indeterminado. La solución depende de un parámetro y es {(–λ, 0, λ): λ ϵ R}.

5) El subespacio cero y el subespacio total constituyen un caso especial. Por ejemplo en R3:

 El subespacio { (0, 0, 0) } tiene como ecuaciones implícitas

Su forma paramétrica es (0, 0,0): no hay parámetros, pues como se trata de un solo punto, no se puede variar nada.

 Por el contrario el subespacio total R3 tiene como forma paramétrica {(α, β, γ): α,β,γ ϵR} (Tres parámetros variando libremente, pues no hay ninguna limitación). Ecuaciones implícitas no tiene ninguna, pues no hay restricción alguna que imponer.

Relación entre la forma implícita y paramétrica.-

Si S es un subespacio de Rn, la forma implícita y paramétrica de S satisfacen en general la siguiente relación:

Comprobar esta relación en los ejemplos anteriores.

Sin embargo para que esto sea cierto debe cumplirse que las ecuaciones implícitas sean independientes entre sí, es decir, que ninguna sea combinación lineal de otras. Esto significa que, considerando las ecuaciones como un sistema, no “sobre” ninguna ecuación: es decir, que la matriz de coeficientes tenga rango igual al número de ecuaciones.

También los parámetros deben ser independientes entre sí: por ejemplo en la expresión 3 paramétrica (α + β, α + β, 0), que en R3 corresponde a la forma implícita {x=y, z=0}, no se cumple la relación anterior: 2+2 ^ 3. Esto ocurre porque los dos parámetros no son independientes. En realidad puede sustituirse α + β por un solo parámetro λ y así tendríamos (λ,λ,0) y ya se cumple 2 + 1 = 3.

(Esto será más fácil de comprobar más adelante, en el punto “Bases y dimensión”, pues el número de parámetros independientes es igual a la dimensión del subespacio).

Inclusión de subespacios.-

Dados dos subespacios A y B, puede ocurrir que uno esté incluido en otro (una recta dentro de un plano, por ejemplo).

Se dice que A está contenido o incluido en B (y se denota A c B) si todos los elementos de A están también en B.

En cualquier espacio vectorial V, el subespacio {0} está contenido en todos los demás subespacios; mientras que todos ellos están contenidos en el total V.

Veamos cómo reconocer si un subespacio está incluido en otro:

 En forma implícita: Si las ecuaciones de B están incluidas en las de A, entonces A c B. (Cuantas más ecuaciones implícitas, más pequeño es el subespacio).

 En forma paramétrica: Para ver si A c B, tendremos que ver si todo vector genérico de A, está en B.

Ejemplo

1) En R3, sean los siguientes subespacios dados en implícitas:

Tenemos que A ⊂ B, pues todo vector que satisfaga las dos ecuaciones de A, es decir que cumpla y=0, z=0, también satisface la ecuación de B, y=0.

2) En R3, sean los siguientes subespacios dados en paramétricas:

A= {(λ, 0,0): λ, R} b= {(α, 0, β): α, β ∈R}

Tenemos que A ⊂ B, pues todo vector de la forma (λ, 0,0) también es de la forma ((α, 0, β), tomando β = 0.

Ambos ejemplos son el mismo, pues se trata del eje X contenido en el plano XZ.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS

A partir de dos subespacios podemos construir otro efectuando las operaciones de suma o intersección de subespacios.

1. Intersección de subespacios.-

La intersección, indicada por el símbolo ∩, puede aplicarse a conjuntos cualesquiera, no sólo a espacios vectoriales. Consiste en encontrar los elementos comunes a dos conjuntos.

Por ejemplo, la intersección de dos planos en R3 podrá ser una recta.

Notar que dados dos subespacios cualesquiera, siempre hay vectores comunes a ambos (al menos el 0, que está en todos los subespacios.)

Teorema

La intersección de subespacios es un subespacio.

En efecto, es posible sumar vectores dentro de S ∩ T, pues por ser S y T subespacios, la suma debe permanecer dentro de S y dentro de T, y por tanto dentro de S ∩ T. Lo mismo para el producto por escalares.

Cálculo de la intersección.

La forma más sencilla (aunque no la única) de calcular S ∩ T es utilizar la expresión implícita de S y de T.

Como buscamos los vectores que verifiquen a la vez ambas condiciones, podremos describir SnT considerando conjuntamente las ecuaciones implícitas de S y las de T (formando un sistema con todas ellas).

Este sistema, si es “sencillo”, puede considerarse ya como la forma implícita de S ∩ T. En todo caso, resolviendo este sistema obtenemos la forma paramétrica de S ∩ T.

Ejemplos.

2. Suma de Subespacios.-

Dados dos subespacios S, T se define el subespacio suma como:

S+T = {u + v: u ∈ S, v ∈ T}

Es decir, aquellos vectores que podamos construir sumando un vector de S y uno de T.

Teorema.-

La suma de subespacios es un subespacio.

Cálculo del subespacio suma.-

Al contrario que la intersección, la suma S + T se calcula más fácilmente usando la forma paramétrica de S y de T. Esto nos permite tomar un vector genérico de cada uno de los subespacios y sumarlos, obteniéndose una expresión paramétrica de S + T.

No obstante la forma paramétrica así obtenida puede tener parámetros no independientes.

Más adelante, en el punto “Sistemas generadores” se dará otro método para calcular el subespacio suma.

Ejemplo.

Consideremos los subespacios en 9i3 dados en paramétricas por:

H= {(α, α+β, β): α, β ∈ R}

K= {(0,0, γ): γ ∈ R}

Entonces los elementos de H+K se formarán sumando (α, α+β, β) + (0,0, γ) = ({(α, α+β, β+γ) es decir:

H + K = {(α, α+β, β+γ): α, β, γ ∈ R}

Observación.-

La intersección S∩T es un subespacio “más pequeño” que S y que T (está contenido en S y también en T).

Por el contrario la suma S+T es un subespacio “más grande” que S y que T, pues contiene a ambos.

De hecho S∩T es el mayor subespacio contenido en ambos, y S+T es el menor subespacio que contiene a ambos.

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